Black Teoremi

Black’e göre, oylamaya katılan bireylerin, seçim konusu olan alternatiflere ilişkin tercih sıralamaları arasında uyum varsa çoğunluk yöntemi ile dengeyi veren sonuca ulaşmak mümkündür. Basit çoğunluk kuralının başarısının temel şartı bireylerin tutarlı ve geçişli tercih sıralamalarına sahip olmasıdır.

Tablo 5: Black Modelinde Seçmen Tercihleri Tek Zirveli İken Bireysel Tercih Sıralamaları Ve Çoğunluk Yöntemi

Duncan Black, analizinde,  5 seçmenden ve 6 alternatiften oluşan bir gruptan hareket etmiştir. Seçmenlerin adaylara yönelik tercih sıralamaları  Tablo 5’de görüldüğü gibi olsun (Black, 1948). Seçmenlerin bireysel tercih sıralamalarında en üstte yer alan aday birey tarafından en çok arzulanan adaydır. Tercih sıralamasında aşağı doğru inildikçe adayın seçmen tarafından tercih edilebilirliği azalmaktadır. Black, Tablo 5’in üst kısmında yer alan seçmenlerin bireysel tercih sıralamalarını bir matrise dönüştürmüştür. Black, bu matris yardımı ile söz konusu seçmen tercihlerinin çoğunluk yöntemi ile bir denge sonuç yaratıp yaratmayacağını araştırmıştır.

             Matriste (a₁, a₁) hücresi sıfırı ifade eder. Çünkü bir alternatifin kendisine karşı oylanması anlamlı değildir.( a₁, a₂) hücresi (2,3)’e tekabül eder. Çünkü, a₁’i a₂’ye tercih eden sadece 2 aday vardır. Bunu tablo 5’te  2 adayın a₁’i tercih sıralamalarında a₂’den daha yükseğe koymalarıyla görülür. Matrisin diğer hücreleri için aynı işlem tekrarlanırsa basit çoğunluk yöntemine göre kazanan adayın a₃ alternatifi olduğu görülür. Çoğunluk yöntemi dengeyi sağlamıştır, çünkü seçmenlerin tercihi tek zirvelidir.

           Black bir sonraki aşamada seçmen tercihlerinin tek zirveli olmadığı bir durumu ele almış ve seçmen tercihleri tek zirveli değilken çoğunluk oylamasının denge sonucu vermeyeceğini ortaya koymuştur. Üç seçmenin üç alternatife yönelik tercihleri tablo 6 daki gibi olsun:

Black’in modelinde seçmenlerin  tercih eğrileri tek zirveli değilse hiçbir alternatif basit çoğunluğu sağlayacak oyu toplayamaz. Tablo 6’da A ve B seçmenlerinin tercihleri tek zirveli iken, C seçmeninin tercihleri çift zirvelidir ve tutarsız tercihlere sahiptir. Bu yüzden de basit çoğunluk kuralının dengeyi sağlayamamasının nedeni olmaktadır.