0-1 TAMSAYILI HEDEF PROGRAMLAMA VE DİYET PROBLEMİNE UYGULANMASI

 

Yrd. Doç.Dr. Şenol Erdoğmuş , Arş.Gör. Eylem Koç , Arş.Gör.İlker Ozan Koç

Osmangazi Üniversitesi , Eskişehir

 

 

ÖZET

 

Bu çalışmada bir hastanede yatan diyabet hastalarının almaları gereken enerji ve besin öğelerini mümkün olduğunca karşılayacak bir haftalık kahvaltı, öğle ve akşam yemeği menülerinin oluşturulması problemi üzerinde çalışılmıştır. Sözkonusu problem etkileşimli tamsayılı doğrusal hedef programlama modeli olarak modellenmiş ve çözülmüştür. Etkileşimler uzman bir diyetisyenle gerçekleştirilmiş ve incelenen hastanede yatan diyabet hastaları için bir haftalık diyet menüleri hazırlanmıştır.Modelin çözümü safhasında ilk olarak Lindo (for DOS) paket programı kullanılmıştır. Lindo paket programı kullanılırken karşılaşılan zorluklar nedeniyle Turbo Pascal programlama dili kullanılarak sözkonusu modeli çözmeye yönelik bir program geliştirilmiştir.

 

 

1.BÖLÜM : GİRİŞ

 

Bu çalışmada etkileşimli tamsayılı doğrusal hedef programlama kullanılarak diyabet hastaları için bir haftalık kahvaltı,öğle ve akşam yemeklerinin menüleri hazırlanmıştır. Etkileşimli hedef programlama problemin belirlenmesinden, geliştirilen modelin çözümüne kadar olan süreçte analizci ile karar vericinin karşılıklı etkileşimini gerektirir.

 

Diyabet(şeker hastalığı) vücudun yiyeceklerle aldığı şekeri enerjiye dönüştürme mekanizmasındaki bozukluktur [Alphan,2001]. Diyabetin tedavi edilmesinde beslenme planlamasının önemi çok büyüktür. Sağlıklı bir şekilde yaşamını sürdürmek isteyen her birey gibi diyabetli hastaların da yeterli ve dengeli beslenmesi gerekmektedir. Yeterli ve dengeli beslenmeyen diyabet hastalarında kan şekeri yükselir. Bu durum çeşitli organlarda önemli hasarlara yol açar. Bu nedenle diyabetli hastaların belirlenen beslenme planlarına uygun şekilde yeterli ve dengeli beslenmelerinin ne denli önemli olduğu gözardı edilemez. Diyabetli hastalar için beslenme planı, hastanın günlük alması gereken enerji ve besin öğeleri miktarları gözönüne alınarak oluşturulmaktadır. Gözönüne alınan bu değerleri mümkün olduğunca sağlayacak bir beslenme planının oluşturulması  istenmektedir. Bu çalışmada ele alınan problem diyabet hastalarının enerji ve besin öğesi ihtiyaçlarını mümkün olduğunca karşılayacak ve aynı zamanda maliyeti mümkün olduğunca en küçükleyecek bir haftalık kahvaltı, öğle ve akşam yemeği menülerinin oluşturulmasıdır.

 

Çok amaçlı programlama içinde en yaygın kullanılan yöntem olan hedef programlama Charnes ve Cooper tarafından bulunmuştur [Lee,1979]. Daha sonra Ijiri, Lee [Lee,1979], [Lee et.al.,1981], Ignizio [Ignizio,1985], [Ignizio,1981], Schniederjans [Schniederjans,1984] tarafından geliştirilmiştir. Etkileşimli hedef programlama ise Dyer,1972 tarafından geliştirilmiştir. Diyet problemi ise ele alınan en eski problemlerden birisidir ve üzerine bir çok araştırmacı çalışmıştır [Kotler ve Mitchell, 1995], [Mulvey et. al.,1995], [Garille ve Gass,2001].

 

2.BÖLÜM : DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA

 

2.1.Giriş

                Doğrusal hedef programlamada amaçlar hedefler şeklinde tanımlanır ve bu hedeflere ulaşım amaç fonksiyonu ile sağlanmaya çalışılır. Amaçların hedeflere dönüştürülmesiyle çatışan amaçların yerini çatışan hedefler alır. Bu hedefler modele birer kısıt olarak taşınırlar. Modelde hedeflerden olan sapmaların en küçüklenmesi olarak tanımlanan bir tek amaç fonksiyonu bulunduğundan tek amaca sahip doğrusal programlama modeli elde edilmiş olur. Elde edilen bu model doğrusal programlama çözüm teknikleri kullanılarak çözülebilir. Bu da, hedef programlamanın avantajlarından biridir. Doğrusal programlama çözüm teknikleri üzerinde yıllardır çalışılıyor olmasından dolayı kolaylıkla kullanılabilen çok sayıda çözüm tekniğinin varolması çok büyük avantajdır [Bazaara,et.al.,1990]. Gerçek hayatta karar verici belirlediği her hedefe aynı önemi vermeyebilir. Başka bir deyişle, bir hedefe ulaşmak diğer bir hedefe ulaşmaktan daha önemli olabilir. Bu nedenle karar verici her bir hedef için öncelik ve/veya ağırlık belirleyebilir. Doğrusal hedef programlama çözüm sürecinde belirlenen öncelikler ve/veya ağırlıkları dikkate alarak uzlaşık çözümü elde eder [Masud and Hwang,1981]. 

                Doğrusal hedef programlama modelinin varsayımları toplanabilirlik, bölünebilirlik, doğrusallık ve belirlilik olarak dört başlıkta incelenmektedir [Schinederjans,1984]. Bunlara karar vericinin “hedeflere ilişkin öncelikler belirlemesi”  varsayımı da ilave edilebilir [Ignizio, 1982]. Hedef programlamanın gelişmesinde önemli payı bulunan Ignizio, bu son varsayımın modelle ilgili anahtar bir varsayım olduğunu kabul etmektedir. Bu varsayımlara ilave olarak modelde yer alan tüm değişkenler için pozitif olma koşulu da eklenmelidir. Bu varsayımlar incelendiğinde hedeflerin önceliği varsayımı dışındaki tüm varsayımların klasik doğrusal programlama modelleri için olan varsayımlar olduğu görülmektedir.

 

2.2. Doğrusal Hedef Programlamanın Teorik Modeli

                Genel doğrusal hedef programlama modeli amaç fonksiyonu, kısıtlar ve negatif olmama kısıtından oluşur ve aşağıdaki gibi gösterilebilir:

Amaç fonksiyonu:

                                                                                                                                      (2.1)

Hedef Kısıtları:

                                                                                                                 (2.2)

Yapısal Kısıtlar:

                                                                                              (2.3)

Negatif olmama kısıtı:

                                                                                                                                                                              (2.4)

Burada;

 k’ ıncı hedefin önceliğini,

  önceliğine sahip i’ inci hedefe ait sapma değişkeninin ağırlığını,

 i’ inci hedefe ait negatif ve pozitif sapma değişkenlerini,

i’ inci kısıtta  değişkeni ile ilişkili teknoloji katsayısını,

 i. kısıtın sağ taraf sabitini gösterir.

 

3.BÖLÜM: ETKİLEŞİMLİ TAMSAYILI DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMANIN DİYET PROBLEMİNE UYGULANMASI

 

3.1. Problemin Tanımlanması

 Tıp dilinde "diabetes mellitus" olarak adlandırılan hastalığa şeker hastalığı denir. Bu tür hastaların vücutlarında şeker kullanımında bozukluklar ortaya çıkar [Baysal,1987]. Diyabet (şeker hastalığı), yiyeceklerle alınan şekerin enerjiye dönüşüm mekanizmasının bozukluğu olarak tanımlanabilir. Diyabet hastalığı genel olarak ikiye ayrılır [Alphan,2001] :

1-       Tip 1 diyabet hastalığında, pankreastaki insülin üreten hücreler tahrip olmuştur. İnsülin ya hiç salgılanmaz ya da çok az salgılanır. Genellikle çokcuklarda görülen Tip 1 diyabet hastaları hayatlarını sürdürebilmek için dışarıdan insülin almak zorundadırlar.    

2-       Tip 2 diyabet hastalığında, pankreastan bir miktar insülin salgılanır, fakat bu insülin ya yetersizdir ya da etkisizdir. Tip 2 diyabete sahip hastalar diyabete sahip hastaların %80' ini oluştururlar.

 

                Diyabet hastalığına sahip bir hastanın beslenme programının düzenlenmesinde amaca yönelik diyet ilkeleri aşağıdaki gibidir [Alphan,1998]:

1-        Enerji, hastayı ideal vücut ağırlığına ulaştıracak ve bunu koruyacak şekilde ayarlanmalı, çocuklarda yeterli büyüme ve gelişmeyi sağlamalıdır.

2-        Diyetteki protein miktarı yetişkinler için 0.8 gr/kg/gün, çocuklar için ise 1.5-3 gr/kg/gün olarak önerilmelidir.

3-        Günlük alınması gereken toplam enerji miktarının en fazla %30' u yağdan karşılanmalıdır.

4-        Diyette alkol yasaklanmalıdır.

5-        Diyet, mineral ve vitamin yönünden yeterli ve dengeli olmalıdır.

6-        Özel diyabetik ürünler gerekli değildir. Çünkü bu ürünler kalori içerirler ve çok pahalıdırlar. Özellikle obez diyabet hastalarına kilo almalarına neden olacağından diyabetik ürünler önerilmemelidir.

7-        Saf şekerler (şeker, şekerleme, tatlılar, pekmez, bal, şekerli meşrubat v.b.) alınmamalıdır. Gerekirse yapay tatlandırıcılar uygun miktarlarda alınabilir [Baysal,1987].

 

Diyabet hastalığının tedavisinde beslenme planlaması oldukça önemli bir rol oynamaktadır. Yaşamını sağlıklı bir şekilde sürdürmek isteyen her birey gibi diyabet hastaları da önerilen koşulları sağlayacak şekilde yeterli ve dengeli beslenmelidirler. Bu çalışmada ele alınan problem diyabet hastalarının enerji ve besin öğeleri ihtiyaçlarını mümkün olduğunca sağlayacak bir haftalık kahvaltı, öğle ve akşam yemeği menülerinin hazırlanmasıdır. Bu çalışmada diyabet hastaları arasından sadece yetişkin Tip 2 diyabet hastaları gözönüne alınmıştır.

 

3.2. Çalışmanın Planlanması

Öğle ve akşam yemekleri için günlük menü 65 adet yemek içerisinden oluşturulacaktır. Bu 65 yemek kendi aralarında 4 gruba ayrılmaktadır. 1. grup yemekler çorbalardan oluşmaktadır. Bu grupta 9 çeşit çorba bulunmaktadır. 2. grup yemekler et yemekleri, etli ve etsiz sebze yemeklerinden oluşmaktadır. Bu grupta toplam 27 çeşit yemek bulunmaktadır. 3. grup yemekler pilavlar, makarnalar ve böreklerden oluşmaktadır. Bu grupta toplam 7 çeşit yemek bulunmaktadır. 4. grupta ise salatalar, meyvalar ve tatlılar bulunmaktadır. Bu grup toplam 22 adet yemekten oluşmaktadır. Kahvaltı için günlük menü ise 12 adet yemek içerisinden oluşturulacaktır. Bu 12 yemek de kendi aralarında 4 gruba ayrılmaktadır. İlk 3 yemek 1. grubu, sonraki 1 yemek 2. grubu, sonraki 4 yemek 3. grubu ve son 4 yemek 4. grubu oluşturmaktadır. 2. grupta sadece zeytin bulunmaktadır ve bu nedenle her gün çıkması zorunludur. Kısım 4.1'de verilen diyet ilkelerinde de değinildiği gibi diyabet hastalarının saf şeker içeren yiyecekler yememeleri gerekmektedir. Bu nedenle öğle ve akşam yemeklerine ilişkin 4. grup yemeklerde yer alan 11 adet saf şeker içeren yiyecek  listeden çıkartılmıştır. Ayrıca bal ve reçel de kahvaltılık yemeklerin 3. grubundan çıkarılmıştır.

 

Diyabet hastalarına uygulanan diyette günlük alınması gereken enerji ve besin öğeleri miktarları sağlıklı insanlarda olduğu gibi yaşa, cinsiyete ve ağırlığa göre belirlenmektedir [Alphan,1998]. Bu nedenle bu çalışmada yetişkin Tip 2 diyabet hastaları için bir haftalık kahvaltı, öğle ve akşam yemeği menüleri oluşturulurken Tablo 3.1.'de verilen hasta gruplarına ilişkin ortalama ağırlıklar gözönüne alınacaktır.

Gruplar

Ortalama ağırlıklar

19-30 Erkek

65

31-60 Erkek

65

60+    Erkek

65

19-30 Kadın

55

31-60 Kadın

55

60+    Kadın

55

Tablo 3.1. Yaş ve cinsiyete göre gruplar ve ortalama ağırlıkları [Baysal ve Merdol,1994].

 

Öğle ve akşam yemekleri için menüler oluşturulurken gözönüne alınması gereken çeşitli kurallar vardır [Baysal ve Merdol,1994] :

1-       Öğle yemeğinde çıkan yemekler akşam yemeğinde çıkmamalıdır.

2-       Aynı öğünde aynı gruptan iki adet yemek bulunmamalıdır.

3-       Yemekler ard arda iki gün tekrarlanmamalıdır.

4-       Bir ay için hazırlanan menüler mümkün olduğunca çeşitli olmalıdır.

5-       Günlük alınması gereken her bir besin öğelesi ve enerji miktarının 2/5'i öğlen yemeğinden, 2/5'i akşam yemeğinden karşılanmalıdır.

 

Kahvaltı menüsü oluşturulurken dikkate alınması gereken kurallar ise şöyledir [Baysal ve Merdol,1994]:

1-       Kahvaltıda her gün süt, peynir ve yumurtadan birinin mutlaka bulundurulması gereklidir.

2-       Kahvaltıda içecek olarak çay, süt ve olanak varsa meyva suyu kullanılır. (Şeker hastalarının saf şeker içeren yiyecekleri yememeleri gerektiğinden meyva suyu verilemez. Ayrıca çay ve süt şekersiz olarak verilebilir.)

3-       Reçel- yağ kahvaltıda tek yiyecek olarak gözönüne alınır. Yalnız reçel veya yanlız yağ ayrı ayrı verilmemelidir. (Şeker hastalarına saf şeker içeren yiyecekler verilmediğinden reçel menüden çıkartılmalıdır. Böylece yağ tek başına verilebilir.)

4-       Kahvaltıda domates, portakal, mandalina gibi bir sebze yada meyvenin bulundurulması uygun olur.

5-       Kahvaltıda yemekler mümkün olduğunca çeşitli çıkmalıdır.

6-       Günlük alınması gereken besin öğesi ve enerji miktarlarının 1/5'i kahvaltıdan karşılanmalıdır.

 

                Menülerin belirlenmesinde yukarıdaki kurallar ve hastaların yeterli ve dengeli beslenmeleri için yiyeceklerde bulunan 9 adet besin öğesi ve enerji miktarları dikkate alınmaktadır. Bu besin öğeleri protein, yağ, kalsiyum, demir, A vitamini, thiamin, riboflavin, niasin ve C vitaminidir. Her bir öğün için belirlenen menünün  o öğün için hastanın alması gereken besin öğeleri ve enerji miktarlarını mümkün olduğunca karşılaması gerekmektedir. Ayrıca yemek maliyetinin de mümkün olduğunca düşük ve menülerde çıkan yemeklerin mümkün olduğunca çeşitli olması istenmektedir. Görüldüğü gibi çalışmada gözönüne alınması gereken üç amaç vardır. Bunlardan ilki maliyetin en küçüklenmesi, ikincisi menülerde yer alan yemeklerin mümkün olduğunca çeşitli olması ve üçüncüsü ise her bir öğünde alınması gerekli enerji ve besin öğeleri miktarlarına mümkün olduğunca ulaşılmasıdır. Üçüncü amaca ulaşmak için 10 adet hedefin tanımlanması sözkonusudur. Bu hedefler ise oluşturulacak olan menülerin hastaların her bir öğünde almaları gereken enerji ve 9 adet besin öğesi miktarlarını karşılamasıdır. Bu çalışmada karar verici konusunda uzman bir diyetisyendir. Çalışmanın problemin belirlenmesinden çözümüne kadar olan her safhasında karar verici ile etkileşimde bulunulacaktır. Bu nedenle çalışmada günlük kahvaltı, öğle ve akşam yemeği menülerinin oluşturulması problemi için etkileşimli tamsayılı doğrusal hedef  programlama kullanılacaktır.

 

                Matematiksel karar modelinin geliştirilmesi safhasında gözönüne alınan yemeklerin maliyetlerine ve bu yemeklerin içerdikleri enerji ve besin öğeleri değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır. Bu nedenle her bir yemeğin bir porsiyonunun maliyeti, içerdiği enerji ve besin öğeleri değerleri belirlenmelidir. Sözkonusu yemeklere ilişkin maliyetler incelenen hastaneden alınacaktır. Yemeklerin bir porsiyonlarının içerdikleri enerji ve besin öğelerine ilişkin değerler ise çeşitli kaynaklardan derlenecek ve daha sonra sonra karar vericiye onaylatılacaktır. Matematiksel karar modelinin geliştirilmesi safhasında gözönüne alınan bütün amaçlar hedeflere dönüştürülecektir. Karar verici ile etkileşimin en yoğun olması gereken safha, modelin çözdürülmesi safhasıdır. Bu safhada her bir hedefe ilişkin ağırlıklar karar verici tarafından belirlenecektir. Model karar verici tarafından verilen ağırlıklar gözönüne alınarak çözdürülecek ve daha sonra çözümler karar vericinin fikri alınmak üzere karar vericiye sunulacaktır. Elde edilen çözümler karar vericiyi tatmin ediyorsa çözüm safhası sona erecektir. Ancak elde edilen çözümler karar vericiyi tatmin etmiyorsa karar verici her bir hedef için önceden verdiği ağırlıklar üzerinde değişiklik yapabilir. Yeni ağırlıklar gözönüne alınarak model tekrar çözülecektir. Elde edilen çözümler karar vericinin fikri alınmak üzere karar vericiye tekrar sunulacaktır. Bu süreç karar vericiyi tatmin edecek bir çözüm bulunana dek tekrarlanacaktır. Ayrıca yemek menüleri hazırlandıktan sonra menülerin uygulanabilirliği konusunda karar vericinin fikri alınacaktır.

 

Her bir öğünde çıkması sözkonusu olan yemeklerin bir porsiyonlarında bulunan  enerji ve besin öğeleri değerleri elde edilmiştir [Merdol,1994], [Baysal ve Merdol,1994], [http://www.kultur.gov.tr], [http://www.turkatak.gen.tr].

 

                Daha önceden de değinildiği gibi bu çalışmada yetişkin Tip 2 diyabet hastaları gözönüne alınmıştır. Hastaların günlük almaları gereken ortalama enerji ve besin öğeleri ihtiyaçları yaşa, cinsiyete ve ağırlığa göre değişmektedir. Bu değerler sağlıklı yetişkin insanların günlük almaları gereken enerji ve besin öğeleri ihtiyaçlarından yola çıkılarak ve Kısım 3.1' de belirtilen diyet ilkeleri gözönüne alınarak hesaplanmaktadır. Her bir öğünde alınması gereken enerji ve besin öğeleri miktarları farklı olduğundan hesaplamalar her bir öğün için ayrı ayrı yapılmalıdır. Ayrıca günlük tüketilen ortalama ekmek miktarları yaşa ve cinsiyete göre değişmektedir. Bu çalışmada ekmek tüketimleri gözönüne alınmadığından ekmeğin içerdiği enerji ve besin öğeleri miktarları Tip 2 diyabet hastalarının günlük almaları gereken enerji ve besin öğeleri miktarlarından çıkartılmalıdır.

 

                Yukarıda değinilen bilgiler ışığında yetişkin Tip 2 diyabet hastalarının ekmek tüketimi gözönüne alınmaksızın almaları gereken günlük enerji ve besin öğeleri miktarları hesaplanarak Tablo 3.2'de verilmiştir.

 

Yaş ve cinsiyete göre gruplar

 

19-30E

31-60E

60+E

19-30K

31-60K

60+K

Günlük ortalama ekmek tüketimi(gr)

400

350

300

200

150

125

Ortalama Ağırlık(kg)

65

65

65

55

55

55

Ortalama Enerji(kkal)

1712

1735

1458

1606

1629

1491.25

Protein(gr)

20.4

24.25

28.1

28.2

32.1

34.13

Yağ(gr)

£85.6

£82.82

£70.03

£67.8

£64.97

£58.63

Kalsiyum(mg)

420

430

540

560

570

675

Demir(mg)

4.8

5.45

6.1

19.4

13.1

8.38

A Vitamini(IU)

5000

5000

5000

5000

5000

5000

Thiamin(mg)

0.2

0.1

0.1

0.4

0.3

0.38

Riboflavin(mg)

1.5

1.2

1

1.1

0.9

0.83

Niasin(mg)

11.6

9.15

7.7

9.8

9

8.88

C vitamini(mg)

60

60

60

75

75

60

Tablo 3.2. Yetişkin Tip 2 diyabet hastalarının ekmek tüketimi çıkartıldıktan sonra almaları gereken günlük enerji ve besin öğeleri miktarları

 

Yukarıda da değinildiği gibi, günlük alınması gereken enerji ve besin öğelerinin 1/5'i kahvaltıdan karşılanmaktadır. Buna göre yetişkin Tip 2 şeker hastalarının ekmek tüketimi çıkartıldıktan sonra kahvaltıda almaları gereken enerji ve besin öğeleri miktarları Tablo 3.2'de verilen enerji ve besin öğeleri miktarlarının 1/5’i alınarak hesaplanır. Günlük alınması gereken enerji ve besin öğelerinin 2/5'i öğle yemeğinden karşılandığından yetişkin Tip 2 diyabet hastalarının ekmek tüketimi çıkartıldıktan sonra öğle yemeğinde almaları gereken enerji ve besin öğeleri miktarları Tablo 3.2'de verilen enerji ve besin öğeleri miktarlarının 2/5’i alınarak hesaplanır. Ayrıca günlük alınması gereken enerji ve besin öğelerinin 2/5'i akşam yemeğinden karşılandığından ve öğle ve akşam yemeğinde alınması gereken enerji ve besin öğeleri miktarları birbirine eşit olacağından aynı değerler akşam yemeği için de kullanılır.

 

3.3. Modelin Oluşturulması

Daha önceden de değinildiği gibi günlük alınması gerekli enerji ve besin öğeleri miktarlarının 1/5'i kahvaltıdan, 2/5'i öğle yemeğinden ve 2/5'i akşam yemeğinden karşılanmalıdır. Bu nedenle herhangi bir öğün için oluşturulacak olan menüler birbirlerinden bağımsızdır. Bu nedenle her bir öğüne ilişkin menülerin hazırlanmasına yönelik matematiksel modeller ayrı ayrı kurulmalıdır. Ancak bu çalışmada, öğle ve akşam yemeklerinin her ikisinin de günlük gereksinimin 2/5'ini karşılaması gerektiğinden ve her iki öğünün menüleri de aynı yemek listesi kullanılarak oluşturulacağından, öğle ve akşam yemeklerine ilişkin menülerin hazırlanmasında aynı model kullanılabilir. Bu nedenle çalışmada iki ayrı model kurulacaktır. Bunlardan birisi öğle ve akşam yemeği için diğeri ise kahvaltı için olan modeldir. Aşağıda öğle ve akşam yemeklerine ilişkin menülerin hazırlanması amacıyla kullanılacak olan model anlatılmıştır.

 

Öğle ve akşam yemeği menülerinin hazırlanmasına ilişkin modelin karar değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

xi: Gözönüne alınan öğünde i.yemeğin menüde yer alıp almaması  (i=1,2,...,54)

Öğle ve akşam yemekleri için ele alınan yemek listesinde 1. grupta 9 adet, 2. grupta 27 adet 3. grupta 7 adet ve 4. grupta 11 adet yemek bulunmaktadır. Bu nedenle öğle ve akşam yemekleri için oluşturulan modelde x1,x2,...,x9 karar değişkenleri 1. grup yemekleri, x10,x11,...,x36 karar değişkenleri 2. grup yemekleri, x37,x38,...,x43 karar değişkenleri 3. grup yemekleri ve x44,x45,...,x54 karar değişkenleri 4. grup yemekleri göstermektedir. Modelde xi karar değişkenleri 0-1 tamsayılı karar değişkenleridir. Eğer xi=1 ise gözönüne alınan öğünde i. yemek menüde yer alacak, eğer xi=0 ise gözönüne alınan öğünde i. yemek menüde yer almayacaktır.

 

Kısım 3.2'de değinilen öğle ve akşam yemekleri için menüler oluşturulurken gözönüne alınması gereken kurallara dayanılarak model için yapısal kısıtlar oluşturulmuştur. Bu kurallardan yapısal kısıt olarak gözönüne alınması gerekenler şunlardır:

1-       Aynı öğünde aynı gruptan iki adet yemek bulunmamalıdır.

2-       Öğle yemeğinde çıkan yemekler akşam yemeğinde çıkmamalıdır.

3-       Yemekler ard arda iki gün tekrarlanmamalıdır.

 

1.Kural için oluşturulan yapısal kısıtlar: 1. grupta 9 adet, 2. grupta 27 adet 3. grupta 7 adet ve 4. grupta 11 adet yemek bulunmaktadır. Buna göre bir öğünde her bir gruptan sadece bir yemeğin çıkmasına ilişkin 4 adet yapısal kısıt yazılması gerekmektedir. Bu kısıtlar aşağıda verilmiştir.

                                                                                                                                                                                   (3.1)     

 

2.Kural için oluşturulan yapısal kısıtlar: Daha önceden de değinildiği gibi öğle ve akşam yemeklerinin belirlenmesine ilişkin modelin her çözülüşünde bir gündeki sadece bir öğüne ilişkin menü belirlenmektedir. Örneğin model önce 1. günün öğle yemeği için ve sonra 1. günün akşam yemeği için çözdürülmektedir.  Her bir gün için öğle yemeğinde çıkan yemeklerin belirlenmesinden sonra model akşam yemeği için çalıştırılmadan önce aşağıdaki yapısal kısıt modele eklenerek model güncellenmektedir. Öğle yemeğinde çıkan yemekler i., j., k., l. yemekler olmak üzere ;

 xi+ xj+ xk+ xl=0                                                                                                                                                                             (3.2)

Böylece öğle yemeğinde çıkan i., j., k., l. yemeklerin akşam yemeğinde çıkmaları engellenmiş olur. Model akşam yemeği için çözdürüldükten sonra bu kısıt silinmektedir.

 

3.Kural için oluşturulan yapısal kısıtlar:      Bu kısıt 2. gün ve sonraki günler için  modelin çözülmesinde söz konusu olmaktadır. Bu nedenle 2. günden itibaren modele aşağıdaki kısıt eklenmektedir: t gün sayısını göstermek üzere, (t-1). günde öğle ve akşam çıkan yemekler i., j., k., l., m., n., p. ve r. yemekler olmak üzere t. gün için modele aşağıdaki yapısal kısıt eklenmektedir:

xi+ xj+ xk+ xl+ xm+ xn+ xp+ xr=0                                                                                                                                                    (3.3)

                Böylece (t-1). günde çıkan yemeklerin tamamının t. günde de çıkmaları engellenmiş olur. Ancak bu kısıt t. güne ilişkin menüler belirlendikten sonra (t+1). gün için aynı şekilde güncellenmektedir.

 

Hedef Kısıtları

Öğle ve akşam yemeği için oluşturulacak olan menülere ait maliyetin en küçüklenmesi amacına ilişkin hedef kısıtı aşağıdaki gibi ifade edilmektedir.

                                                                                                                                                            (3.4)

                Burada ci , i. yemeğin porsiyon maliyetidir (TL).  ve  ise sırasıyla maliyet hedefinden eksi yönde ve artı yönde sapmalardır. Maliyet miktarı eksi yönde değerler alamayacağından burada  sapma değişkeninin değer alması mümkün değildir. Bu nedenle bu değişken modelden çıkartılabilir. Burada istenmeyen sapma değişkeni 'dır ve hedef programlama modelinin amaç fonksiyonunda yer alacaktır.

 

Öğle ve akşam yemeği için oluşturulacak menülerin içermesi gereken enerji miktarına ilişkin hedef, aşağıdaki şekilde hedef kısıtı olarak  tanımlanır.

   (j=1,2,...,6)                                                                                                                                    (3.5)

                Burada ai i. yemeğin içerdiği enerji miktarını (kkal), Aj ise yaşa ve cinsiyete göre yapılan gruplamaya göre j. gruptaki hastaların öğle ve akşam yemeğinde almaları gereken enerji miktarını göstermektedir.  ve  değişkenleri ise sırasıyla enerji hedefinden eksi ve artı yönde gerçekleşen sapmaları göstermektedir. Burada hedefin eşitlik şeklinde sağlanması istendiğinden her iki sapma değişkeni de istenmeyen sapma değişkenleridir ve her ikisi de tamsayılı doğrusal hedef programlama modelinin amaç fonksiyonunda yer alacaktır.

 

Öğle ve akşam yemeği için oluşturulacak menülerin içermesi gereken protein miktarına ilişkin hedef, aşağıdaki şekilde hedef kısıtı;

   (j=1,2,...,6)                                                                                                                                    (3.6)

olarak yazılabilir. Burada bi i. yemeğin içerdiği protein miktarını (gr), Bj ise yaşa ve cinsiyete göre yapılan gruplamaya göre j. gruptaki hastaların öğle ve akşam yemeğinde almaları gereken protein miktarını göstermektedir.  ve  değişkenleri ise sırasıyla protein hedefinden eksi ve artı yönde gerçekleşen sapmaları göstermektedir. Burada hedefin eşitlik şeklinde sağlanması istendiğinden her iki sapma değişkeni de istenmeyen sapma değişkenleridir ve her ikisi de tamsayılı doğrusal hedef programlama modelinin amaç fonksiyonunda yer alacaktır.

 

Öğle ve akşam yemeği için oluşturulacak menülerin içermesi gereken yağ miktarına ilişkin hedef, aşağıdaki şekilde hedef kısıtı;

   (j=1,2,...,6)                                                                                                                                    (3.7)

şeklinde tanımlanabilir. Burada ei i. yemeğin içerdiği yağ miktarını (gr), Ej ise yaşa ve cinsiyete göre yapılan gruplamaya göre j. gruptaki hastaların öğle ve akşam yemeğinde almaları gereken yağ miktarını göstermektedir.  ve  değişkenleri ise sırasıyla yağ hedefinden eksi ve artı yönde gerçekleşen sapmaları göstermektedir. Burada hedef her bir öğünde alınması gereken yağ miktarının Ej'ye eşit veya küçük olmasıdır. Bu nedenle hedeften artı yönde sapma olan  istenmeyen sapma değişkenidir ve tamsayılı doğrusal hedef programlama modelinin amaç fonksiyonunda yer alacaktır.

 

Öğle ve akşam yemeği için oluşturulacak menülerin içermesi gereken kalsiyum miktarına ilişkin hedef kısıtı,

   (j=1,2,...,6)                                                                                                                                    (3.8)

olarak yazılabilir. Burada ki i. yemeğin içerdiği kalsiyum miktarını (mg), Kj ise yaşa ve cinsiyete göre yapılan gruplamaya göre j. gruptaki hastaların öğle ve akşam yemeğinde almaları gereken kalsiyum miktarını göstermektedir.  ve  değişkenleri ise sırasıyla kalsiyum hedefinden eksi ve artı yönde gerçekleşen sapmaları göstermektedir. Burada hedefin eşitlik şeklinde sağlanması istendiğinden her iki sapma değişkeni de istenmeyen sapma değişkenleridir ve her ikisi de tamsayılı doğrusal hedef programlama modelinin amaç fonksiyonunda yer alacaktır.

 

Öğle ve akşam yemeği için oluşturulacak menülerin içermesi gereken demir miktarına ilişkin hedef kısıtı,

   (j=1,2,...,6)                                                                                                                                  (3.9)

şeklinde yazılabilir. Burada mi i. yemeğin içerdiği demir miktarını (mg) ve Mj ise yaşa ve cinsiyete göre yapılan gruplamaya göre j. gruptaki hastaların öğle ve akşam yemeğinde almaları gereken demir miktarını göstermektedir.  ve  değişkenleri ise sırasıyla demir hedefinden eksi ve artı yönde gerçekleşen sapmaları göstermektedir. Burada hedefin eşitlik şeklinde sağlanması istendiğinden her iki sapma değişkeni de istenmeyen sapma değişkenleridir ve her ikisi de tamsayılı doğrusal hedef programlama modelinin amaç fonksiyonunda yer alacaktır.

 

Öğle ve akşam yemeği için oluşturulacak menülerin içermesi gereken A vitamini miktarına ilişkin