SAYISAL LOTO SONUÇLARINA İLİŞKİN

İSTATİSTİKSEL BİR DEĞERLENDİRME

Erkan IŞIĞIÇOK*

ÖZET

Milli Piyango İdaresi tarafından Piyango, Hemen Kazan, Labirent, Sayısal Loto ve Şans Topu gibi çeşitli şans oyunları düzenlenmektedir. Özellikle gelir dağılımının bozulduğu ülkemizde bu tür şans oyunlarına olan talep gün geçtikçe artmaktadır. Her Cumartesi çekilişi yapılan sayısal loto oyununa olan talep üzerine, bu oyunun değiştirilmiş versiyonu olan Şans Topu geliştirilmiş ve 20 Haziran 2001’den itibaren her Çarşamba günleri çekilişi yapılmaya başlanmıştır. Bu çalışmada, 16.11.1996 ile 25.08.2001 döneminde yapılan 250 haftalık sayısal loto çekiliş sonuçlarının istatistiksel değerlendirmesi yapılacaktır. Bu amaçla, hesaplanacak betimsel istatistiklerin karşılaştırılması dışında, sayısal loto çekilişleri, bir üretim veya hizmet prosesinden üretilen değerler gibi düşünülerek, elde edilen gözlem değerlerine Ortalama ve Standart Sapma, CUSUM, MA ve EWMA kontrol grafikleri uygulanacaktır.

1. GİRİŞ

1 ile 49 arasındaki sayılardan 6 tanesi oyun kuponuna işaretlenerek oynanan sayısal loto oyununda, her hafta Cumartesi günü çekiliş yapılmakta ve 6, 5, 4 veya 3 sayının tahmin edilmesi durumunda ikramiye kazanılmaktadır. Söz konusu oyunda birkaç hafta üst üste 6 sayıyı doğru tahmin eden çıkmaması durumunda, bu haftaya ayrılan ikramiye ertesi hafta 6 sayıyı doğru tahmin eden katılımcılara dağıtılmak üzere devredilmektedir. Bu şekilde yapılacak devir 3 haftadan fazla olamamakta ve dördüncü hafta da 6 numarayı doğru tahmin eden çıkmazsa, bu gruba ayrılan ikramiye tutarı önceki haftalardan devreden tutar ile birlikte 5 (olmaması halinde 4) sayıyı bilenler arasında dağıtılmaktadır[1].

Sayısal loto oyununun şansa bağlı olduğuna inananlar; kuponlara yaş, il trafik kodu, özel günlerin tarihleri, okul numaraları, bugüne kadar yapılan çekilişlerde en çok çıkan sayıları vb. yazmaktadırlar. Bazıları bir torbaya 49 sayıdan oluşan top veya üzerinde numara yazılı kağıt atarak içinden iadesiz olarak çekiliş yapmakta, bazıları piyasada satılan sayısal loto kalemlerine, hesap makinesindeki veya bilgisayardaki rassal sayı üreten tuşlar veya fonksiyonlardan (RND=Random) yararlanmakta ve bazıları ise çıkan sayılar arasındaki ilişkilere dayanarak bir yöntem veya bir kural arama yolunu izlemektedir[2].

Çekilişlerin gerçekleştirildiği özel çekiliş küresinin sistematik hata yapma olasılığına karşı veya topların karıştırılma aşamasında birbirine sürtünerek zamanla aşınması nedeniyle, hem topların hem de kürenin sık sık değiştirildiği belirtilmektedir. Bu ifade, çekilişlerin rassal yani şansa bağlı olarak gerçekleştirilmeye çalışıldığı anlamına gelir ve test edilebilir bir özellik içerir. İşte, bu makalenin temel amacı, sayısal loto çekilişlerinin rassal (şansa bağlı) olup olmadığını 250 haftalık çekilişlere dayanarak araştırmak ve çekiliş sonuçlarının istatistiksel bir değerlendirmesini yapmaktır.

Öte yandan, herhangi bir üretim veya hizmet prosesinden çekilen örneklemlere dayanarak, proses hakkında çıkarımda bulunulmaktadır[3]. Aynı mantıkla, Sayısal Loto prosesi de özde bir üretim veya hizmet prosesinden farklı yapıda olmakla birlikte, 1 ile 49 arasındaki sayılardan ardışık olarak 6 sayının rassal olarak üretildiği (çekildiği) bir proses olması nedeniyle, bu prosesin de kontrolda olup olmadığı araştırılabilir[4].

2. SAYISAL LOTODA ÖRNEKLEM UZAYI

Sayısal lotoda ikramiye kazanma olasılığını hesaplamak için, öncelikle çekilişlere ilişkin örneklem uzayının eleman sayısını bulmak gerekir. 49 sayıdan 6 sayı çekildiğine ve sıralanış önemli olmadığına göre, 49’un 6’lı kombinasyonu

(1)

şeklindedir[5]. Bu sayı, 49 sayıdan oluşan 6’şarlı sayıların tamamının oluşturduğu kümenin eleman sayısı olup, bütün örneklem sonuçlarının içinde bulunduğu bu kümeye “örneklem uzayı” adı verilir[6].

Örneklem uzayında yer alan 13.983.816 elemanı elde etmek için, bilgisayar programlama mantığına dayanan Şekil-1’deki akış şeması geliştirilmiştir[7]. Söz konusu akış şemasının çalışması çarpma sembolünün işleyişine benzer. I, J, K, L, M ve N değerleri indisleri göstermek üzere, ancak çarpma işlemi yapmadan indis değerleri yan yana yazılırsa

(2)

formülü kullanılır. Böylece, indis değerleri başlangıç konumunda sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 değerlerine sahip iken, nihai durumda 44, 45, 46, 47, 48 ve 49 olur. Döngü mantığına göre, içte yer alan N değişkeni M+1’den 49’a gidene kadar ilk beş indis değişkeni sabit kalır. N=49’dan sonra ilk dört indis değişkeni sabit olmak üzere, M=6 ve N=7 olur. İterasyon bu şekilde işleyip tamamlandığında örneklem uzayındaki bütün elemanlara ulaşılmış olur. Kuşkusuz, bu amaçla döngünün içine ara işlem olarak I, J, K, L, M ve N değişkenlerinin yazdırılmasına ilişkin komut satırı eklenmelidir.

Bütün bunlara ek olarak, 13.983.816 hacimlik örneklem uzayına sahip olan sayısal loto çekilişlerindeki her bir örneklem birimi sıralı olarak sayı ekseni ile gösterilebilir. Örneğin, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayılarından oluşan birim sayı ekseninin ilk birimi, 1, 2, 3, 4, 5 ve 7 ikinci birimi ve 44, 45, 46, 47, 48 ve 49 sayılarından oluşan birim ise son (13.983.816.) birimi gösterir. Böylece, Şekil-2’deki gibi bir eksen düşünülebilir[8]. Bu eksen mantığı kullanılarak, 1’den 13.983.816’ya kadar giden sistematik sayılardan oluşan örneklem uzayından, 250 haftalık çekilişlerin her birinin sırası uygulama bölümünde ayrı ayrı belirlenecektir. Söz konusu sonuçlar Tablo-9’da yer almaktadır.

Şekil-1 : Sayısal Loto Oyunundaki Örneklem Uzayının Akış Şeması

.

.

.

Şekil-2 : Sayısal Loto Oyununun Örneklem Uzayındaki Birimlerin Sayı Ekseni İle Gösterimi

½	½	½	½				½	½	½	½
1.	2.	3.	4.	.	.	.	13 983 813.	13 983 814.	13 983 815.	13 983 816.
1	1	1	1	.	.	.	43	43	43	44
2	2	2	2	.	.	.	44	44	45	45
3	3	3	3	.	.	.	45	46	46	46
4	4	4	4	.	.	.	47	47	47	47
5	5	5	5	.	.	.	48	48	48	48
6	7	8	9	.	.	.	49	49	49	49

3. SAYISAL LOTODA YÜKSEK İKRAMİYE KAZANMA OLASILIĞI

Sayısal loto oyununun örneklem uzayında yer alan elemanların (6’şarlı sayıların) tamamının oynanması durumunda ikramiye kazanma olasılığı %100 olur. Özellikle devreden haftalarda bu durum kesinlikle kârlı gibi görünse de, bir başka kişi veya kişilerin 6 sayıyı tahmin edemeyeceğine ilişkin bir garanti yoktur. Nitekim 6 sayıyı kaç kişi bilirse toplam ikramiye bu kişiler arasında eşit olarak paylaşılmaktadır.

Öte yandan, örneklem uzayında yer alan her eleman eşit olarak çekilme şansına sahip olduğuna göre, bir kolon oynanması durumunda ikramiye kazanma olasılığı 13.983.816’da bir olup

(3)

şeklindedir. Bu sonuç, 6 bilerek ikramiye kazanma olasılığının sıfıra çok yakın ve neredeyse imkânsız olduğunu göstermektedir. Örneklem uzayındaki her bir 6’şarlı sayının çekilme olasılığı teorik olarak eşit olsa da, gerçekte çekilme olasılığı daha az olan (örneğin; 1,2,3,4,5,6 veya 41,42,43,44,45,46 vb.) sayıların örneklem uzayından çıkarılması (dışlanması) sonucunda ikramiye kazanma olasılığı arttırılabilir.

Ayrıca, (3) no.lu eşitlikten de görüldüğü gibi, sayısal lotoda ikramiye kazanma olasılığının çok küçük olması nedeniyle, 49 sayı yerine daha az sayı grubunu dikkate alarak, diğer bir deyişle, bazı sayıları dışlama yaklaşımı izlenebilir. Böylece, oynanmak istenen sayı miktarının 6’lı kombinasyonu alınarak, oynanması gereken kolon sayısı veya aynı anlama gelmek üzere, yeni durumdaki örneklem uzayının eleman sayısı bulunabilir. Bu durum Tablo-1’deki verilerde görülmektedir.

Tablo-1 : Sayısal Lotoda Oynanmak İstenen Sayı Miktarına Göre Oynanması Gereken Kolon Sayısı

Oynanmak İst. Sayı Miktarı	Oynanması Ger.Kolon Sayısı	Oynanmak İst. Sayı Miktarı	Oynanması Ger.Kolon Sayısı	Oynanmak İst. Sayı Miktarı	Oynanması Ger.Kolon Sayısı
49	13.983.816	34	1.344.904	19	27.132
48	12.271.512	33	1.107.568	18	18.564
47	10.737.573	32	906.192	17	12.376
46	9.366.819	31	736.281	16	8.008
45	8.145.060	30	593.775	15	5.005
44	7.059.052	29	475.020	14	3.003
43	6.096.454	28	376.740	13	1.716
42	5.245.786	27	296.010	12	924
41	4.496.388	26	230.230	11	462
40	3.838.380	25	177.100	10	210
39	3.262.623	24	134.596	9	84
38	2.760.681	23	100.947	8	28
37	2.324.784	22	74.613	7	7
36	1.947.792	21	54.264	6	1
35	1.623.160	20	38.760

Not : Tabloda, oynanmak istenen sayı miktarının 6’lı kombinasyonu hesaplanarak oynanması gereken kolon sayısına ulaşılmıştır.

Tablo-1’e göre, 13.983.816 elemanlı örneklem uzayından, 6 sayı çekerek ikramiye kazanma olasılığı çok küçük iken, 49 sayı arasından 20 sayı seçilerek bu sayılardan oluşan 38.760 kolon oynandığında 6 sayıyı tutturma olasılığı kesin olur. Kuşkusuz, bunun için çekilişteki 6 sayının 20 sayı arasındaki sayılardan oluşması gerekeceği açıktır.

4. SAYISAL LOTODA ÇEKİLEN SAYILAR ARASINDAKİ BAĞIMLILIK VE ÇARPMA KURALI

Sayısal lotoda her bir sayının iadesiz olarak çekilmesi nedeniyle, bir sayının çekilmesi diğer bir sayının çekilmesini etkiler. Bu durumda, çekilişler arasında bağımlılık olduğu söylenir[9]. Böylece, bağımlı olaylara ilişkin çarpma kuralından yararlanarak

.

.

.

(4)

sonucuna ulaşılır. Bu sonuç, daha önce bulunan 6 sayının da doğru tahmin edilmesi olasılığından başka bir sayı değildir.

5. SAYISAL LOTODA İKRAMİYE KAZANMA OLASILIĞININ HİPERGEOMETRİK BÖLÜNME İLE HESAPLANMASI

Sayısal lotoda iadesiz seçimin kullanılması nedeniyle, ikramiye kazanma olasılığının hesaplanması için hipergeometrik bölünmeden yararlanılabilir. X hipergeometrik rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu

(5)

olup, söz konusu fonksiyona hipergeometrik olasılık fonksiyonu adı verilir[10].

Hipergeometrik bölünmeye göre, X rassal değişkeninin 6 değerini alma olasılığı veya aynı anlama gelmek üzere, 6 tane sayının bilinmesi olasılığı hipergeometrik olasılık fonksiyonu ile

(6)

biçiminde hesaplanır. Aynı mantıkla, X rassal değişkeninin 5 ve 4 değerleri alma (5 ve 4 tane sayının bilinme) olasılıkları da, (6) no.lu eşitlikte x=5 ve x=4 değerlerini yerine konarak

şeklinde hesaplanır. Aynı mantıkla, x=3, x=2, x=1 ve x=0 değerleri için de benzer olasılıklar elde edilebilir. Böylece, X rassal değişkenini aldığı sayısal değerler bir sütuna ve bu sayısal değerleri alma olasılıkları diğer sütuna yazılmak suretiyle, olasılık bölünmesine ulaşılabilir. Ayrıca, olasılıklar 100 ile çarpılarak aralığındaki hipergeometrik bölünmenin histogramı da çizilebilir. Şekil-3, sayısal loto oyununa ilişkin hipergeometrik olasılık bölünmesini ve bu bölünmenin histogramını göstermektedir.

Şekil-3 : Sayısal Lotoda x Tane Sayının Bilinmesi Olasılıklarına İlişkin Hipergeometrik Olasılık Bölünmesi ve Bu Bölünmenin Histogramı

Şekil-3’den de görüldüğü gibi, bir kolonluk sayısal loto oyununda 49 sayıdan hiçbirinin bilinmemesi olasılığı %43,60 iken, bir tanesini bilme olasılığı %41,30, iki tanesini bilme olasılığı %13,24, üç tanesini bilme olasılığı %1,76, dört tanesini bilme olasılığı yüz binde 96,86, beş tanesini bilme olasılığı milyonda 18,44 ve altı tanesini bilme olasılığı ise milyarda 71,51’dir.

6. 250 HAFTALIK SAYISAL LOTO SONUÇLARININ TEMEL İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER İLE İRDELENMESİ

16.11.1996 tarihinden 25.08.2001 dönemindeki 250 haftalık sayısal loto çekiliş sonuçları Ek-1’deki gibi gerçekleşmiştir. Anakütle hacmi 13.983.816 olan örneklem uzayından rassal olarak çekilen 250 hacimlik örneklemin sonuçları Tablo-2’deki gibidir.

Tablo-2 : 250 Haftalık Sayısal Loto Çekilişlerinin Frekans Tablosu

Xi	fi	Xi	fi	Xi	fi	Xi	fi	Xi	fi
1	34	11	30	21	32	31	27	41	31
2	25	12	32	22	27	32	36	42	26
3	27	13	33	23	22	33	26	43	24
4	29	14	38	24	26	34	29	44	30
5	29	15	31	25	29	35	31	45	27
6	32	16	38	26	32	36	31	46	35
7	35	17	37	27	40	37	25	47	28
8	33	18	26	28	31	38	38	48	25
9	28	19	32	29	26	39	37	49	27
10	31	20	37	30	31	40	34	Toplam	253
Toplam	303	Toplam	334	Toplam	296	Toplam	314	Ort.	28,1
Ort.	30,3	Ort.	33,4	Ort.	29,6	Ort.	31,4	Gen.T.	1500

Tablo-2 incelendiğinde, en yüksek frekansa sahip olan 27 sayısının 40 kez çıktığı ve en düşük frekansa sahip olan 23 sayısının ise 22 kez çıktığı görülür. Ayrıca, 14, 16 ve 38 sayılarının 38’er kez ve 17, 20 ve 39 sayılarının 37’şer kez çıktığı dikkate alındığında, elde edilen sonuçlar arasında belirli bir sayının diğerlerine göre daha fazla çıktığı şeklinde bir yorum yapılamaz. Ayrıca, Şekil-4a’da 1-10, 11-20, 21-30, 31-40 ve 41-49 arasındaki 5 gruptaki sayıların ve Şekil-4b’de 1-7, 8-14, 15-21, 22-28, 29-35, 36-42 ve 43-49 arasındaki 7 gruptaki sayıların kendi aralarındaki frekansları arasında da önemli derecede bir farklılık olmadığı söylenebilir.

Şekil-4 : 250 Haftalık Sayısal Loto Çekilişlerinin Histogramı

a) Çekilişlerin 5 Grubunun Histogramı b) Çekilişlerin 7 Grubunun Histogramı

Şekil-4’deki eğriler, beklenen normal eğriyi ifade eder ve (a) da 1-11’den az, 11-21’den az, 21-31’den az, 31-41’den az ve 41-51’den az olmak üzere 5 sınıf var iken, (b) de benzer mantıkla 7 sınıf bulunmaktadır. Tablo-2’de ve Şekil-4a’da yer alan bu beş sınıf (grup) ile Şekil-4b’de yer alan yedi sınıfın frekansları arasında anlamlı bir faklılık olup olmadığını belirlemek amacıyla, tek yönlü varyans analizi uygulanmış ve Tablo-3’deki sonuçlara ulaşılmıştır.

Tablo-3 : Sayısal Loto Sonuçlarının 5 ve 7 Sınıflarına İlişkin Tek Yönlü ANOVA Sonuçları

	df Etkisi	MS Etkisi	df Hatası	MS Hatası	F	p-değeri
5 sınıflı veriler : 1-10, 11-20, 21-30, 31-40, 41-49	4	37,86094	44	16,91338	2,238520	0,080189
7 sınıflı veriler : 1-7,8-14,15-21,22-28,29-35,36-42,43-49	6	23,60544	42	17,95238	1,314892	0,271823

Tablo-3’e göre, 7 sınıflı frekanslar arasında %5 veya %10 anlamlılık düzeyinde önemli (anlamlı) bir fark yok iken, 5 sınıflı frekanslar arasında %5 anlamlılık düzeyinde önemli bir fark olmadığı ancak %10 anlamlılık düzeyinde önemli bir farklılık olduğu söylenebilir. Bu durum, 250 haftalık sayısal loto çekilişlerinde 1-10, 11-20, 21-30, 31-40 ve 41-49 sayılarının çekiliş sayılarının (frekanslarının) ortalamaları arasında %10 anlamlılık düzeyinde önemli bir farklılık olduğu anlamına gelir. Hem 5 hem de 7 sınıflı verilere (frekanslara) ilişkin ortalamaların grafiği Şekil-5’de görülmektedir. 5 sınıflı frekansların ortalamaları arasındaki farkın, hangi ortalamadan kaynaklandığını belirlemek amacıyla çoklu karşılaştırma (post hoc comparisons) testlerinden LSD testi uygulanmış ve Tablo-4’deki sonuçlara ulaşılmıştır[11].

Şekil-5 : Tablo-2’deki Ortalamaların Grafiği

Tablo-4 : Tablo-2’deki Sınıfların Ortalamalarına İlişkin LSD Testi Sonuçları

LSD Testi ; Değişken Sonuçlar, Temel etki : Grup
	{1} 30,3	{2} 33,4	{3} 29,6	{4} 31,4	{5} 28,1
1 {1}		0,098971	0,705332	0,552850	0,252956
2 {2}	0,098971		0,044736	0,282770	0,007583
3 {3}	0,705332	0,044736		0,333087	0,434958
4 {4}	0,552850	0,282770	0,333087		0,088758
5 {5}	0,252956	0,007583	0,434958	0,088758

Tablo-4’de 2. grup ile 3. grup ve 2. grup ile 5. grup ortalamaları arasında %5 anlamlılık düzeyine göre önemli (anlamlı) bir fark olduğundan, 2. grubu temsil eden 11-20 arasındaki verilere ilişkin frekanslar çıkarılmış, yeniden 4 gruba ilişkin tek yönlü ANOVA uygulanmış ve Tablo-5’deki sonuçlara ulaşılmıştır.

Tablo-5 : Tablo-2’deki 1., 3., 4. ve 5. Sınıflara İlişkin Tek Yönlü ANOVA Sonuçları

	df Etkisi	MS Etkisi	df Hatası	MS Hatası	F	p-değeri
4 sınıf : 1-10,21-30,31-40,41-49	3	17,93362	35	17,13683	1,046496	0,384175

Böylece, bütün frekans ortalamalarının eşit olduğu Ho hipotezi reddedilememiştir. Bu durum, 1-10, 21-30, 31-40 ve 41-49 arasındaki sayıların çekilişleri arasında anlamlı bir fark olmadığını ifade eder.

Bununla birlikte, her hafta yapılan çekilişlerde elde edilen 6 sayının küçükten büyüğe doğru 1., 2., 3., 4., 5. ve 6. şeklindeki sıralamasına göre, 6 grup için 250 haftalık sonuçlara da varyans analizi uygulanmış ve elde edilen sonuçlar Tablo-6’ya aktarılmıştır. Bu verilere göre de 1. sayıdan 6. sayıya kadar olan sayıların çekiliş sayıları arasında %5 anlamlılık düzeyinde önemli bir farklılık olmadığı söylenebilir.

Tablo-6 : 250 Haftalık Sayısal Loto Çekilişlerindeki 6 Sayının Tek Yönlü ANOVA Sonuçları

SS etkisi	df Etkisi	MS Etkisi	SS hatası	df hatası	MS hatası	F değeri	p-değeri
42342,20	249	170,0490	250572,0	1250	200,4576	0,848304	0,947712

Diğer taraftan, Ek-1’deki yer alan 250 haftalık çekilişlerin betimsel istatistik sonuçları Tablo-7’deki gibidir. 1 ile 49 arasındaki sayıların ortalaması 25 iken, 250 haftalık çekilişlerde elde edilen 6 hacimlik örneklemlerin ortalamalarının ortalaması 24,70133, medyanı 25 ve modu 27 olarak gerçekleşmiştir. Bu üç ortalamanın birbirine yakın olması serinin tam olmasa da simetriye yakın olduğunu gösterir. Bu durum, momentlere dayanan asimetri ölçüsünün (0,030476) sıfıra yakın olması ile de desteklenmektedir. Ancak, –1,19464 basıklık değeri, çekilişlerin basık olduğunu gösterir. 250 haftalık çekilişlerin %25’i 13 sayısından küçük, %25’i ise 37 sayısından büyük ve ortaya düşen %50’si ise 13 ile 37 arasındaki sayılar olarak gerçekleşmiştir. Çekilişlerin standart sapması 13,97878, standart hatası ise 0,360931 olarak hesaplanmıştır.

Tablo-7 : 250 Haftalık Sayısal Loto Çekilişlerinin Betimsel İstatistikleri

Betimsel İstatistik	Değer
Örneklem hacmi (n)	6
Örneklem sayısı (k)	250
Aritmetik ortalama	24,70133
%95 Alt güven sınırı	23,99335
%95 Üst güven sınırı	25,40932
Medyan	25
Mod	27
Toplam	37052
Çift sayı miktarı	752
Tek sayı miktarı	748
En küçük değer	1
En büyük değer	49
Birinci kartil	13
Üçüncü kartil	37
Değişim genişliği	48
Kartil genişliği	24
Varyans	195,4064
Standart sapma	13,97878
Standart hata	0,360931
Asimetri (a3)	0,030476
Basıklık (a4)	-1,19464

Tablo-7’deki %95 güven sınırları

(7)

şeklinde elde edilmiştir. Bu sonuç, 250 haftalık çekilişlerdeki değerlere dayanarak örneklem ortalamalarının ortalamasının %95 olasılıkla 23,99 ile 25,41 arasında olduğunu göstermektedir.

Tablo-7’deki betimsel istatistikler dışında, 250 haftalık çekilişlerde ardışık 3 veya 4 sayının geldiği haftalar ve söz konusu sayılar Tablo-8’deki gibi gerçekleşmiştir. Söz konusu tabloya göre, 250 haftalık çekilişlerin 8 haftasında üç sayı ardışık olarak gelirken, 3 haftasında da dört sayı ardışık olarak çekilmiştir.

Tablo-8 : Ardışık 3 ve Ardışık 4 Sayının Çıktığı Haftalar ve Sayılar

Ardışık 3 Sayı		Ardışık 4 Sayı
Hafta	Sayılar	Hafta	Sayılar
11.	37, 38, 39	115.	32, 33, 34, 35
12.	38, 39, 40	136.	39, 40, 41, 42
77.	28, 29, 30	162.	22, 23, 24, 25
81.	11, 12, 13
91.	3, 4, 5
126.	8, 9, 10
179.	42, 43, 44
213.	14, 15, 16

Bununla birlikte, 250 haftalık sayısal loto çekilişlerinin kutu-bıyık (Box-Whisker) Grafikleri Şekil-6’da görüldüğü gibidir.

Şekil-6 : Sayısal Loto Sonuçlarının Box-Whisker Grafikleri

a) Median/Quart./Range Tipi b) Mean/SE/SD Tipi

c) Mean/SD/1,96*SD Tipi d) Mean/SE/1,96*SE Tipi

Şekil-6’daki kutu-bıyık grafiklerinden ilki (a), ortalamalara ilişkin kutu-bıyık grafiği olup, minimum terimin 1, maksimum terimin 49, birinci kartilin 13, üçüncü kartilin 37 ve medyanın 25 olduğunu gösterir. Bu sonuç medyandan kartillere olan uzaklıkların eşit ve 12 (37-25=25-13=12) olduğunu gösterir. (b) grafiği, ortalamadan ±1 standart sapma ve standart hata uzaklıklarını gösterir. Bu uzaklıklar 24,70133±13,97878 ile 24,70133±0,360931 şeklinde hesaplanabilir. (c) grafiği, ortalamadan ±1,96 standart sapma ve ±1 standart sapma uzaklıklarını gösterir ve 24,70133±1,96(13,97878) ile 24,70133±13,97878 biçiminde hesaplanır. Nihayet (d) grafiği, ortalamadan ±1,96 standart hata ve ±1 standart hata uzaklıklarını ifade eder. Bunlardan ilki %95 güven sınırları olup daha önce de belirtildiği gibi 24,70133±1,96(0,360931) şeklinde hesaplanır. Diğer uzaklık ise 24,70133±0,360931 şeklinde bulunur.

Diğer taraftan, 250 haftalık sayısal loto çekilişlerinin normal dağılıp dağılmadığını belirlemek amacıyla Tablo-7’deki betimsel istatistikler ve Şekil-6’daki grafikler dışında, Şekil-7’deki normal olasılık grafiğine de bakılabilir. Söz konusu grafik çekilişlerin doğru etrafında toplanması nedeniyle dağılımın normale yakın olduğunu göstermektedir[12].

Şekil-7 : 250 Haftalık Sayısal Loto Çekilişlerinin Normal Olasılık Grafiği

Ancak, kutu-bıyık grafikleri ile Q-Q normal olasılık grafiği, sayısal loto sonuçlarının normalliğine ilişkin görsel bir fikir vermektedir. Verilerin normal dağılımdan gelip gelmediğini belirlemek için istatistiksel testlere başvurulması yerinde olur[13]. Bu amaçla, 250 haftalık çekilişlerin normal dağılıma uyup uymadığı Tablo-9’daki normallik testleri ile de araştırılmıştır. Tablodaki veriler, çekilişlerin normal dağılıma uymadığını göstermektedir. Bu sonuç, sayısal loto çekilişlerinin rassal olmadığı şeklinde yorumlanmamalıdır. Nitekim, Şekil-4’deki histogram dikdörtgenel bir dağılıma benzemektedir. Bu durum, 250 haftalık çekilişlerin rassal olması nedeniyle, daha önce bulunan 5 veya 7 sınıflı verilere ilişkin frekanslar arasında anlamlı fark (ANOVA) ile de desteklenmiştir.

Tablo-9 : 250 Haftalık Sayısal Loto Sonuçlarının Normallik Testleri

Test	Değişken	N	Test ist.	P değeri
Kolmogorov-Smirnov Testi	Çekiliş sonuçları	1500	Max D = 0,070619	P<0,01
K-S Testi, Lilliefors Olasılık.	Çekiliş sonuçları	1500	Max D = 0,070619	P<0,01
Shapiro-Wilk W Testi	Çekiliş sonuçları	1500	W = 0,933503	P=0,00

Tablo-10 : 250 Haftalık Sayısal Loto Sonuçlarının Örneklem Uzayındaki Sıraları ve 6 Bilen Kişi Sayıları

Hafta	Sıra	6 bilen kişi sayısı	Hafta	Sıra	6 bilen kişi sayısı	Hafta	Sıra	6 bilen kişi sayısı	Hafta	Sıra	6 bilen kişi sayısı
1.	6 621 970	1	64.	3 792 774	0	127.	1 015 719	5	190.	11 270 310	3
2.	4 248 608	0	65.	2 388 179	0	128.	6 192 022	1	191.	5 304 580	9
3.	7 796 901	1	66.	13 317 258	2	129.	2 036 135	0	192.	9 627 526	7
4.	8 190 374	0	67.	10 543 548	4	130.	12 072 856	3	193.	5 572 058	4
5.	2 106 743	1	68.	10 978 065	8	131.	7 707 923	1	194.	1 346 519	0
6.	2 906 753	0	69.	3 820 823	1	132.	8 365 184	0	195.	5 674 242	4
7.	5 034 454	8	70.	11 406 445	2	133.	2 609 688	2	196.	6 448 739	2
8.	4 414 845	0	71.	2 352 066	1	134.	5 108 097	2	197.	8 121 302	1
9.	5 514 846	1	72.	7 042 629	2	135.	13 892 553	0	198.	11 431 495	2
10.	6 409 000	13	73.	443 557	1	136.	11 658 573	4	199.	331 676	2
11.	13 653 452	0	74.	2 439 108	2	137.	13 029 336	2	200.	11 271 642	1
12.	11 953 255	0	75.	1 575 588	0	138.	13 765 550	1	201.	2 726 017	2
13.	11 049 230	1	76.	5 437 547	2	139.	7 101 243	1	202.	10 243 473	0
14.	3 365 819	2	77.	7 278 601	2	140.	13 047 208	1	203.	12 688 631	6
15.	12 337 730	1	78.	6 241 575	1	141.	6 965 281	2	204.	707 659	1
16.	13 221 641	2	79.	11 791 515	2	142.	5 217 135	1	205.	12 463 250	1
17.	2 981 933	0	80.	9 172 765	1	143.	8 989 072	0	206.	10 008 046	1
18.	10 923 767	1	81.	9 570 241	2	144.	13 358 103	3	207.	8 170 905	8
19.	2 749 236	1	82.	2 349 444	1	145.	8 262 298	1	208.	5 635 907	3
20.	13 381 974	1	83.	450 600	0	146.	3 886 910	0	209.	4 552 275	1
21.	142 511	0	84.	7 641 157	1	147.	3 049 723	1	210.	1 941 219	1
22.	12 152 644	2	85.	10 942 968	2	148.	5 815 192	1	211.	9 232 513	1
23.	21 508	1	86.	9 776 727	0	149.	2 165 122	2	212.	7 738 098	1
24.	3 445 470	0