SAYISAL LOTO SONUÇLARINA İLİŞKİN

İSTATİSTİKSEL BİR DEĞERLENDİRME

Erkan IŞIĞIÇOK*

ÖZET

Milli Piyango İdaresi tarafından Piyango, Hemen Kazan, Labirent, Sayısal Loto ve Şans Topu gibi çeşitli şans oyunları düzenlenmektedir. Özellikle gelir dağılımının bozulduğu ülkemizde bu tür şans oyunlarına olan talep gün geçtikçe artmaktadır. Her Cumartesi çekilişi yapılan sayısal loto oyununa olan talep üzerine, bu oyunun değiştirilmiş versiyonu olan Şans Topu geliştirilmiş ve 20 Haziran 2001’den itibaren her Çarşamba günleri çekilişi yapılmaya başlanmıştır. Bu çalışmada, 16.11.1996 ile 25.08.2001 döneminde yapılan 250 haftalık sayısal loto çekiliş sonuçlarının istatistiksel değerlendirmesi yapılacaktır. Bu amaçla, hesaplanacak betimsel istatistiklerin karşılaştırılması dışında, sayısal loto çekilişleri, bir üretim veya hizmet prosesinden üretilen değerler gibi düşünülerek, elde edilen gözlem değerlerine Ortalama ve Standart Sapma, CUSUM, MA ve EWMA kontrol grafikleri uygulanacaktır.

1. GİRİŞ

1 ile 49 arasındaki sayılardan 6 tanesi oyun kuponuna işaretlenerek oynanan sayısal loto oyununda, her hafta Cumartesi günü çekiliş yapılmakta ve 6, 5, 4 veya 3 sayının tahmin edilmesi durumunda ikramiye kazanılmaktadır. Söz konusu oyunda birkaç hafta üst üste 6 sayıyı doğru tahmin eden çıkmaması durumunda, bu haftaya ayrılan ikramiye ertesi hafta 6 sayıyı doğru tahmin eden katılımcılara dağıtılmak üzere devredilmektedir. Bu şekilde yapılacak devir 3 haftadan fazla olamamakta ve dördüncü hafta da 6 numarayı doğru tahmin eden çıkmazsa, bu gruba ayrılan ikramiye tutarı önceki haftalardan devreden tutar ile birlikte 5 (olmaması halinde 4) sayıyı bilenler arasında dağıtılmaktadır[1].

Sayısal loto oyununun şansa bağlı olduğuna inananlar; kuponlara yaş, il trafik kodu, özel günlerin tarihleri, okul numaraları, bugüne kadar yapılan çekilişlerde en çok çıkan sayıları vb. yazmaktadırlar. Bazıları bir torbaya 49 sayıdan oluşan top veya üzerinde numara yazılı kağıt atarak içinden iadesiz olarak çekiliş yapmakta, bazıları piyasada satılan sayısal loto kalemlerine, hesap makinesindeki veya bilgisayardaki rassal sayı üreten tuşlar veya fonksiyonlardan (RND=Random) yararlanmakta ve bazıları ise çıkan sayılar arasındaki ilişkilere dayanarak bir yöntem veya bir kural arama yolunu izlemektedir[2].

Çekilişlerin gerçekleştirildiği özel çekiliş küresinin sistematik hata yapma olasılığına karşı veya topların karıştırılma aşamasında birbirine sürtünerek zamanla aşınması nedeniyle, hem topların hem de kürenin sık sık değiştirildiği belirtilmektedir. Bu ifade, çekilişlerin rassal yani şansa bağlı olarak gerçekleştirilmeye çalışıldığı anlamına gelir ve test edilebilir bir özellik içerir. İşte, bu makalenin temel amacı, sayısal loto çekilişlerinin rassal (şansa bağlı) olup olmadığını 250 haftalık çekilişlere dayanarak araştırmak ve çekiliş sonuçlarının istatistiksel bir değerlendirmesini yapmaktır.

Öte yandan, herhangi bir üretim veya hizmet prosesinden çekilen örneklemlere dayanarak, proses hakkında çıkarımda bulunulmaktadır[3]. Aynı mantıkla, Sayısal Loto prosesi de özde bir üretim veya hizmet prosesinden farklı yapıda olmakla birlikte, 1 ile 49 arasındaki sayılardan ardışık olarak 6 sayının rassal olarak üretildiği (çekildiği) bir proses olması nedeniyle, bu prosesin de kontrolda olup olmadığı araştırılabilir[4].

2. SAYISAL LOTODA ÖRNEKLEM UZAYI

Sayısal lotoda ikramiye kazanma olasılığını hesaplamak için, öncelikle çekilişlere ilişkin örneklem uzayının eleman sayısını bulmak gerekir. 49 sayıdan 6 sayı çekildiğine ve sıralanış önemli olmadığına göre, 49’un 6’lı kombinasyonu

(1)

şeklindedir[5]. Bu sayı, 49 sayıdan oluşan 6’şarlı sayıların tamamının oluşturduğu kümenin eleman sayısı olup, bütün örneklem sonuçlarının içinde bulunduğu bu kümeye “örneklem uzayı” adı verilir[6].

Örneklem uzayında yer alan 13.983.816 elemanı elde etmek için, bilgisayar programlama mantığına dayanan Şekil-1’deki akış şeması geliştirilmiştir[7]. Söz konusu akış şemasının çalışması çarpma sembolünün işleyişine benzer. I, J, K, L, M ve N değerleri indisleri göstermek üzere, ancak çarpma işlemi yapmadan indis değerleri yan yana yazılırsa

(2)

formülü kullanılır. Böylece, indis değerleri başlangıç konumunda sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 değerlerine sahip iken, nihai durumda 44, 45, 46, 47, 48 ve 49 olur. Döngü mantığına göre, içte yer alan N değişkeni M+1’den 49’a gidene kadar ilk beş indis değişkeni sabit kalır. N=49’dan sonra ilk dört indis değişkeni sabit olmak üzere, M=6 ve N=7 olur. İterasyon bu şekilde işleyip tamamlandığında örneklem uzayındaki bütün elemanlara ulaşılmış olur. Kuşkusuz, bu amaçla döngünün içine ara işlem olarak I, J, K, L, M ve N değişkenlerinin yazdırılmasına ilişkin komut satırı eklenmelidir.

Bütün bunlara ek olarak, 13.983.816 hacimlik örneklem uzayına sahip olan sayısal loto çekilişlerindeki her bir örneklem birimi sıralı olarak sayı ekseni ile gösterilebilir. Örneğin, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayılarından oluşan birim sayı ekseninin ilk birimi, 1, 2, 3, 4, 5 ve 7 ikinci birimi ve 44, 45, 46, 47, 48 ve 49 sayılarından oluşan birim ise son (13.983.816.) birimi gösterir. Böylece, Şekil-2’deki gibi bir eksen düşünülebilir[8]. Bu eksen mantığı kullanılarak, 1’den 13.983.816’ya kadar giden sistematik sayılardan oluşan örneklem uzayından, 250 haftalık çekilişlerin her birinin sırası uygulama bölümünde ayrı ayrı belirlenecektir. Söz konusu sonuçlar Tablo-9’da yer almaktadır.

Şekil-1 : Sayısal Loto Oyunundaki Örneklem Uzayının Akış Şeması

.

.

.

Şekil-2 : Sayısal Loto Oyununun Örneklem Uzayındaki Birimlerin Sayı Ekseni İle Gösterimi

½	½	½	½				½	½	½	½
1.	2.	3.	4.	.	.	.	13 983 813.	13 983 814.	13 983 815.	13 983 816.
1	1	1	1	.	.	.	43	43	43	44
2	2	2	2	.	.	.	44	44	45	45
3	3	3	3	.	.	.	45	46	46	46
4	4	4	4	.	.	.	47	47	47	47
5	5	5	5	.	.	.	48	48	48	48
6	7	8	9	.	.	.	49	49	49	49

3. SAYISAL LOTODA YÜKSEK İKRAMİYE KAZANMA OLASILIĞI

Sayısal loto oyununun örneklem uzayında yer alan elemanların (6’şarlı sayıların) tamamının oynanması durumunda ikramiye kazanma olasılığı %100 olur. Özellikle devreden haftalarda bu durum kesinlikle kârlı gibi görünse de, bir başka kişi veya kişilerin 6 sayıyı tahmin edemeyeceğine ilişkin bir garanti yoktur. Nitekim 6 sayıyı kaç kişi bilirse toplam ikramiye bu kişiler arasında eşit olarak paylaşılmaktadır.

Öte yandan, örneklem uzayında yer alan her eleman eşit olarak çekilme şansına sahip olduğuna göre, bir kolon oynanması durumunda ikramiye kazanma olasılığı 13.983.816’da bir olup

(3)

şeklindedir. Bu sonuç, 6 bilerek ikramiye kazanma olasılığının sıfıra çok yakın ve neredeyse imkânsız olduğunu göstermektedir. Örneklem uzayındaki her bir 6’şarlı sayının çekilme olasılığı teorik olarak eşit olsa da, gerçekte çekilme olasılığı daha az olan (örneğin; 1,2,3,4,5,6 veya 41,42,43,44,45,46 vb.) sayıların örneklem uzayından çıkarılması (dışlanması) sonucunda ikramiye kazanma olasılığı arttırılabilir.

Ayrıca, (3) no.lu eşitlikten de görüldüğü gibi, sayısal lotoda ikramiye kazanma olasılığının çok küçük olması nedeniyle, 49 sayı yerine daha az sayı grubunu dikkate alarak, diğer bir deyişle, bazı sayıları dışlama yaklaşımı izlenebilir. Böylece, oynanmak istenen sayı miktarının 6’lı kombinasyonu alınarak, oynanması gereken kolon sayısı veya aynı anlama gelmek üzere, yeni durumdaki örneklem uzayının eleman sayısı bulunabilir. Bu durum Tablo-1’deki verilerde görülmektedir.

Tablo-1 : Sayısal Lotoda Oynanmak İstenen Sayı Miktarına Göre Oynanması Gereken Kolon Sayısı

Oynanmak İst. Sayı Miktarı	Oynanması Ger.Kolon Sayısı	Oynanmak İst. Sayı Miktarı	Oynanması Ger.Kolon Sayısı	Oynanmak İst. Sayı Miktarı	Oynanması Ger.Kolon Sayısı
49	13.983.816	34	1.344.904	19	27.132
48	12.271.512	33	1.107.568	18	18.564
47	10.737.573	32	906.192	17	12.376
46	9.366.819	31	736.281	16	8.008
45	8.145.060	30	593.775	15	5.005
44	7.059.052	29	475.020	14	3.003
43	6.096.454	28	376.740	13	1.716
42	5.245.786	27	296.010	12	924
41	4.496.388	26	230.230	11	462
40	3.838.380	25	177.100	10	210
39	3.262.623	24	134.596	9	84
38	2.760.681	23	100.947	8	28
37	2.324.784	22	74.613	7	7
36	1.947.792	21	54.264	6	1
35	1.623.160	20	38.760

Not : Tabloda, oynanmak istenen sayı miktarının 6’lı kombinasyonu hesaplanarak oynanması gereken kolon sayısına ulaşılmıştır.

Tablo-1’e göre, 13.983.816 elemanlı örneklem uzayından, 6 sayı çekerek ikramiye kazanma olasılığı çok küçük iken, 49 sayı arasından 20 sayı seçilerek bu sayılardan oluşan 38.760 kolon oynandığında 6 sayıyı tutturma olasılığı kesin olur. Kuşkusuz, bunun için çekilişteki 6 sayının 20 sayı arasındaki sayılardan oluşması gerekeceği açıktır.

4. SAYISAL LOTODA ÇEKİLEN SAYILAR ARASINDAKİ BAĞIMLILIK VE ÇARPMA KURALI

Sayısal lotoda her bir sayının iadesiz olarak çekilmesi nedeniyle, bir sayının çekilmesi diğer bir sayının çekilmesini etkiler. Bu durumda, çekilişler arasında bağımlılık olduğu söylenir[9]. Böylece, bağımlı olaylara ilişkin çarpma kuralından yararlanarak

.

.

.

(4)

sonucuna ulaşılır. Bu sonuç, daha önce bulunan 6 sayının da doğru tahmin edilmesi olasılığından başka bir sayı değildir.

5. SAYISAL LOTODA İKRAMİYE KAZANMA OLASILIĞININ HİPERGEOMETRİK BÖLÜNME İLE HESAPLANMASI

Sayısal lotoda iadesiz seçimin kullanılması nedeniyle, ikramiye kazanma olasılığının hesaplanması için hipergeometrik bölünmeden yararlanılabilir. X hipergeometrik rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu

(5)

olup, söz konusu fonksiyona hipergeometrik olasılık fonksiyonu adı verilir[10].

Hipergeometrik bölünmeye göre, X rassal değişkeninin 6 değerini alma olasılığı veya aynı anlama gelmek üzere, 6 tane sayının bilinmesi olasılığı hipergeometrik olasılık fonksiyonu ile

(6)

biçiminde hesaplanır. Aynı mantıkla, X rassal değişkeninin 5 ve 4 değerleri alma (5 ve 4 tane sayının bilinme) olasılıkları da, (6) no.lu eşitlikte x=5 ve x=4 değerlerini yerine konarak

şeklinde hesaplanır. Aynı mantıkla, x=3, x=2, x=1 ve x=0 değerleri için de benzer olasılıklar elde edilebilir. Böylece, X rassal değişkenini aldığı sayısal değerler bir sütuna ve bu sayısal değerleri alma olasılıkları diğer sütuna yazılmak suretiyle, olasılık bölünmesine ulaşılabilir. Ayrıca, olasılıklar 100 ile çarpılarak aralığındaki hipergeometrik bölünmenin histogramı da çizilebilir. Şekil-3, sayısal loto oyununa ilişkin hipergeometrik olasılık bölünmesini ve bu bölünmenin histogramını göstermektedir.

Şekil-3 : Sayısal Lotoda x Tane Sayının Bilinmesi Olasılıklarına İlişkin Hipergeometrik Olasılık Bölünmesi ve Bu Bölünmenin Histogramı

Şekil-3’den de görüldüğü gibi, bir kolonluk sayısal loto oyununda 49 sayıdan hiçbirinin bilinmemesi olasılığı %43,60 iken, bir tanesini bilme olasılığı %41,30, iki tanesini bilme olasılığı %13,24, üç tanesini bilme olasılığı %1,76, dört tanesini bilme olasılığı yüz binde 96,86, beş tanesini bilme olasılığı milyonda 18,44 ve altı tanesini bilme olasılığı ise milyarda 71,51’dir.

6. 250 HAFTALIK SAYISAL LOTO SONUÇLARININ TEMEL İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER İLE İRDELENMESİ

16.11.1996 tarihinden 25.08.2001 dönemindeki 250 haftalık sayısal loto çekiliş sonuçları Ek-1’deki gibi gerçekleşmiştir. Anakütle hacmi 13.983.816 olan örneklem uzayından rassal olarak çekilen 250 hacimlik örneklemin sonuçları Tablo-2’deki gibidir.

Tablo-2 : 250 Haftalık Sayısal Loto Çekilişlerinin Frekans Tablosu

Xi	fi	Xi	fi	Xi	fi	Xi	fi	Xi	fi
1	34	11	30	21	32	31	27	41	31
2	25	12	32	22	27	32	36	42	26
3	27	13	33	23	22	33	26	43	24
4	29	14	38	24	26	34	29	44	30
5	29	15	31	25	29	35	31	45	27
6	32	16	38	26	32	36	31	46	35
7	35	17	37	27	40	37	25	47	28
8	33	18	26	28	31	38	38	48	25
9	28	19	32	29	26	39	37	49	27
10	31	20	37	30	31	40	34	Toplam	253
Toplam	303	Toplam	334	Toplam	296	Toplam	314	Ort.	28,1
Ort.	30,3	Ort.	33,4	Ort.	29,6	Ort.	31,4	Gen.T.	1500

Tablo-2 incelendiğinde, en yüksek frekansa sahip olan 27 sayısının 40 kez çıktığı ve en düşük frekansa sahip olan 23 sayısının ise 22 kez çıktığı görülür. Ayrıca, 14, 16 ve 38 sayılarının 38’er kez ve 17, 20 ve 39 sayılarının 37’şer kez çıktığı dikkate alındığında, elde edilen sonuçlar arasında belirli bir sayının diğerlerine göre daha fazla çıktığı şeklinde bir yorum yapılamaz. Ayrıca, Şekil-4a’da 1-10, 11-20, 21-30, 31-40 ve 41-49 arasındaki 5 gruptaki sayıların ve Şekil-4b’de 1-7, 8-14, 15-21, 22-28, 29-35, 36-42 ve 43-49 arasındaki 7 gruptaki sayıların kendi aralarındaki frekansları arasında da önemli derecede bir farklılık olmadığı söylenebilir.

Şekil-4 : 250 Haftalık Sayısal Loto Çekilişlerinin Histogramı

a) Çekilişlerin 5 Grubunun Histogramı b) Çekilişlerin 7 Grubunun Histogramı

Şekil-4’deki eğriler, beklenen normal eğriyi ifade eder ve (a) da 1-11’den az, 11-21’den az, 21-31’den az, 31-41’den az ve 41-51’den az olmak üzere 5 sınıf var iken, (b) de benzer mantıkla 7 sınıf bulunmaktadır. Tablo-2’de ve Şekil-4a’da yer alan bu beş sınıf (grup) ile Şekil-4b’de yer alan yedi sınıfın frekansları arasında anlamlı bir faklılık olup olmadığını belirlemek amacıyla, tek yönlü varyans analizi uygulanmış ve Tablo-3’deki sonuçlara ulaşılmıştır.

Tablo-3 : Sayısal Loto Sonuçlarının 5 ve 7 Sınıflarına İlişkin Tek Yönlü ANOVA Sonuçları

	df Etkisi	MS Etkisi	df Hatası	MS Hatası	F	p-değeri
5 sınıflı veriler : 1-10, 11-20, 21-30, 31-40, 41-49	4	37,86094	44	16,91338	2,238520	0,080189
7 sınıflı veriler : 1-7,8-14,15-21,22-28,29-35,36-42,43-49	6	23,60544	42	17,95238	1,314892	0,271823

Tablo-3’e göre, 7 sınıflı frekanslar arasında %5 veya %10 anlamlılık düzeyinde önemli (anlamlı) bir fark yok iken, 5 sınıflı frekanslar arasında %5 anlamlılık düzeyinde önemli bir fark olmadığı ancak %10 anlamlılık düzeyinde önemli bir farklılık olduğu söylenebilir. Bu durum, 250 haftalık sayısal loto çekilişlerinde 1-10, 11-20, 21-30, 31-40 ve 41-49 sayılarının çekiliş sayılarının (frekanslarının) ortalamaları arasında %10 anlamlılık düzeyinde önemli bir farklılık olduğu anlamına gelir. Hem 5 hem de 7 sınıflı verilere (frekanslara) ilişkin ortalamaların grafiği Şekil-5’de görülmektedir. 5 sınıflı frekansların ortalamaları arasındaki farkın, hangi ortalamadan kaynaklandığını belirlemek amacıyla çoklu karşılaştırma (post hoc comparisons) testlerinden LSD testi uygulanmış ve Tablo-4’deki sonuçlara ulaşılmıştır[11].

Şekil-5 : Tablo-2’deki Ortalamaların Grafiği

Tablo-4 : Tablo-2’deki Sınıfların Ortalamalarına İlişkin LSD Testi Sonuçları

LSD Testi ; Değişken Sonuçlar, Temel etki : Grup
	{1} 30,3	{2} 33,4	{3} 29,6	{4} 31,4	{5} 28,1
1 {1}		0,098971	0,705332	0,552850	0,252956
2 {2}	0,098971		0,044736	0,282770	0,007583
3 {3}	0,705332	0,044736		0,333087	0,434958
4 {4}	0,552850	0,282770	0,333087		0,088758
5 {5}	0,252956	0,007583	0,434958	0,088758

Tablo-4’de 2. grup ile 3. grup ve 2. grup ile 5. grup ortalamaları arasında %5 anlamlılık düzeyine göre önemli (anlamlı) bir fark olduğundan, 2. grubu temsil eden 11-20 arasındaki verilere ilişkin frekanslar çıkarılmış, yeniden 4 gruba ilişkin tek yönlü ANOVA uygulanmış ve Tablo-5’deki sonuçlara ulaşılmıştır.

Tablo-5 : Tablo-2’deki 1., 3., 4. ve 5. Sınıflara İlişkin Tek Yönlü ANOVA Sonuçları

	df Etkisi	MS Etkisi	df Hatası	MS Hatası	F	p-değeri
4 sınıf : 1-10,21-30,31-40,41-49	3	17,93362	35	17,13683	1,046496	0,384175

Böylece, bütün frekans ortalamalarının eşit olduğu Ho hipotezi reddedilememiştir. Bu durum, 1-10, 21-30, 31-40 ve 41-49 arasındaki sayıların çekilişleri arasında anlamlı bir fark olmadığını ifade eder.

Bununla birlikte, her hafta yapılan çekilişlerde elde edilen 6 sayının küçükten büyüğe doğru 1., 2., 3., 4., 5. ve 6. şeklindeki sıralamasına göre, 6 grup için 250 haftalık sonuçlara da varyans analizi uygulanmış ve elde edilen sonuçlar Tablo-6’ya aktarılmıştır. Bu verilere göre de 1. sayıdan 6. sayıya kadar olan sayıların çekiliş sayıları arasında %5 anlamlılık düzeyinde önemli bir farklılık olmadığı söylenebilir.

Tablo-6 : 250 Haftalık Sayısal Loto Çekilişlerindeki 6 Sayının Tek Yönlü ANOVA Sonuçları

SS etkisi	df Etkisi	MS Etkisi	SS hatası	df hatası	MS hatası	F değeri	p-değeri
42342,20	249	170,0490	250572,0	1250	200,4576	0,848304	0,947712

Diğer taraftan, Ek-1’deki yer alan 250 haftalık çekilişlerin betimsel istatistik sonuçları Tablo-7’deki gibidir. 1 ile 49 arasındaki sayıların ortalaması 25 iken, 250 haftalık çekilişlerde elde edilen 6 hacimlik örneklemlerin ortalamalarının ortalaması 24,70133, medyanı 25 ve modu 27 olarak gerçekleşmiştir. Bu üç ortalamanın birbirine yakın olması serinin tam olmasa da simetriye yakın olduğunu gösterir. Bu durum, momentlere dayanan asimetri ölçüsünün (0,030476) sıfıra yakın olması ile de desteklenmektedir. Ancak, –1,19464 basıklık değeri, çekilişlerin basık olduğunu gösterir. 250 haftalık çekilişlerin %25’i 13 sayısından küçük, %25’i ise 37 sayısından büyük ve ortaya düşen %50’si ise 13 ile 37 arasındaki sayılar olarak gerçekleşmiştir. Çekilişlerin standart sapması 13,97878, standart hatası ise 0,360931 olarak hesaplanmıştır.

Tablo-7 : 250 Haftalık Sayısal Loto Çekilişlerinin Betimsel İstatistikleri

Betimsel İstatistik	Değer
Örneklem hacmi (n)	6
Örneklem sayısı (k)	250
Aritmetik ortalama	24,70133
%95 Alt güven sınırı	23,99335
%95 Üst güven sınırı	25,40932
Medyan	25
Mod	27
Toplam	37052
Çift sayı miktarı	752
Tek sayı miktarı	748
En küçük değer	1
En büyük değer	49
Birinci kartil	13
Üçüncü kartil	37
Değişim genişliği	48
Kartil genişliği	24
Varyans	195,4064
Standart sapma	13,97878
Standart hata	0,360931
Asimetri (a3)	0,030476
Basıklık (a4)	-1,19464

Tablo-7’deki %95 güven sınırları

(7)

şeklinde elde edilmiştir. Bu sonuç, 250 haftalık çekilişlerdeki değerlere dayanarak örneklem ortalamalarının ortalamasının %95 olasılıkla 23,99 ile 25,41 arasında olduğunu göstermektedir.

Tablo-7’deki betimsel istatistikler dışında, 250 haftalık çekilişlerde ardışık 3 veya 4 sayının geldiği haftalar ve söz konusu sayılar Tablo-8’deki gibi gerçekleşmiştir. Söz konusu tabloya göre, 250 haftalık çekilişlerin 8 haftasında üç sayı ardışık olarak gelirken, 3 haftasında da dört sayı ardışık olarak çekilmiştir.

Tablo-8 : Ardışık 3 ve Ardışık 4 Sayının Çıktığı Haftalar ve Sayılar

Ardışık 3 Sayı		Ardışık 4 Sayı
Hafta	Sayılar	Hafta	Sayılar
11.	37, 38, 39	115.	32, 33, 34, 35
12.	38, 39, 40	136.	39, 40, 41, 42
77.	28, 29, 30	162.	22, 23, 24, 25
81.	11, 12, 13
91.	3, 4, 5
126.	8, 9, 10
179.	42, 43, 44
213.	14, 15, 16

Bununla birlikte, 250 haftalık sayısal loto çekilişlerinin kutu-bıyık (Box-Whisker) Grafikleri Şekil-6’da görüldüğü gibidir.

Şekil-6 : Sayısal Loto Sonuçlarının Box-Whisker Grafikleri

a) Median/Quart./Range Tipi b) Mean/SE/SD Tipi

c) Mean/SD/1,96*SD Tipi d) Mean/SE/1,96*SE Tipi

Şekil-6’daki kutu-bıyık grafiklerinden ilki (a), ortalamalara ilişkin kutu-bıyık grafiği olup, minimum terimin 1, maksimum terimin 49, birinci kartilin 13, üçüncü kartilin 37 ve medyanın 25 olduğunu gösterir. Bu sonuç medyandan kartillere olan uzaklıkların eşit ve 12 (37-25=25-13=12) olduğunu gösterir. (b) grafiği, ortalamadan ±1 standart sapma ve standart hata uzaklıklarını gösterir. Bu uzaklıklar 24,70133±13,97878 ile 24,70133±0,360931 şeklinde hesaplanabilir. (c) grafiği, ortalamadan ±1,96 standart sapma ve ±1 standart sapma uzaklıklarını gösterir ve 24,70133±1,96(13,97878) ile 24,70133±13,97878 biçiminde hesaplanır. Nihayet (d) grafiği, ortalamadan ±1,96 standart hata ve ±1 standart hata uzaklıklarını ifade eder. Bunlardan ilki %95 güven sınırları olup daha önce de belirtildiği gibi 24,70133±1,96(0,360931) şeklinde hesaplanır. Diğer uzaklık ise 24,70133±0,360931 şeklinde bulunur.

Diğer taraftan, 250 haftalık sayısal loto çekilişlerinin normal dağılıp dağılmadığını belirlemek amacıyla Tablo-7’deki betimsel istatistikler ve Şekil-6’daki grafikler dışında, Şekil-7’deki normal olasılık grafiğine de bakılabilir. Söz konusu grafik çekilişlerin doğru etrafında toplanması nedeniyle dağılımın normale yakın olduğunu göstermektedir[12].

Şekil-7 : 250 Haftalık Sayısal Loto Çekilişlerinin Normal Olasılık Grafiği

Ancak, kutu-bıyık grafikleri ile Q-Q normal olasılık grafiği, sayısal loto sonuçlarının normalliğine ilişkin görsel bir fikir vermektedir. Verilerin normal dağılımdan gelip gelmediğini belirlemek için istatistiksel testlere başvurulması yerinde olur[13]. Bu amaçla, 250 haftalık çekilişlerin normal dağılıma uyup uymadığı Tablo-9’daki normallik testleri ile de araştırılmıştır. Tablodaki veriler, çekilişlerin normal dağılıma uymadığını göstermektedir. Bu sonuç, sayısal loto çekilişlerinin rassal olmadığı şeklinde yorumlanmamalıdır. Nitekim, Şekil-4’deki histogram dikdörtgenel bir dağılıma benzemektedir. Bu durum, 250 haftalık çekilişlerin rassal olması nedeniyle, daha önce bulunan 5 veya 7 sınıflı verilere ilişkin frekanslar arasında anlamlı fark (ANOVA) ile de desteklenmiştir.

Tablo-9 : 250 Haftalık Sayısal Loto Sonuçlarının Normallik Testleri

Test	Değişken	N	Test ist.	P değeri
Kolmogorov-Smirnov Testi	Çekiliş sonuçları	1500	Max D = 0,070619	P<0,01
K-S Testi, Lilliefors Olasılık.	Çekiliş sonuçları	1500	Max D = 0,070619	P<0,01
Shapiro-Wilk W Testi	Çekiliş sonuçları	1500	W = 0,933503	P=0,00

Tablo-10 : 250 Haftalık Sayısal Loto Sonuçlarının Örneklem Uzayındaki Sıraları ve 6 Bilen Kişi Sayıları

Hafta	Sıra	6 bilen kişi sayısı	Hafta	Sıra	6 bilen kişi sayısı	Hafta	Sıra	6 bilen kişi sayısı	Hafta	Sıra	6 bilen kişi sayısı
1.	6 621 970	1	64.	3 792 774	0	127.	1 015 719	5	190.	11 270 310	3
2.	4 248 608	0	65.	2 388 179	0	128.	6 192 022	1	191.	5 304 580	9
3.	7 796 901	1	66.	13 317 258	2	129.	2 036 135	0	192.	9 627 526	7
4.	8 190 374	0	67.	10 543 548	4	130.	12 072 856	3	193.	5 572 058	4
5.	2 106 743	1	68.	10 978 065	8	131.	7 707 923	1	194.	1 346 519	0
6.	2 906 753	0	69.	3 820 823	1	132.	8 365 184	0	195.	5 674 242	4
7.	5 034 454	8	70.	11 406 445	2	133.	2 609 688	2	196.	6 448 739	2
8.	4 414 845	0	71.	2 352 066	1	134.	5 108 097	2	197.	8 121 302	1
9.	5 514 846	1	72.	7 042 629	2	135.	13 892 553	0	198.	11 431 495	2
10.	6 409 000	13	73.	443 557	1	136.	11 658 573	4	199.	331 676	2
11.	13 653 452	0	74.	2 439 108	2	137.	13 029 336	2	200.	11 271 642	1
12.	11 953 255	0	75.	1 575 588	0	138.	13 765 550	1	201.	2 726 017	2
13.	11 049 230	1	76.	5 437 547	2	139.	7 101 243	1	202.	10 243 473	0
14.	3 365 819	2	77.	7 278 601	2	140.	13 047 208	1	203.	12 688 631	6
15.	12 337 730	1	78.	6 241 575	1	141.	6 965 281	2	204.	707 659	1
16.	13 221 641	2	79.	11 791 515	2	142.	5 217 135	1	205.	12 463 250	1
17.	2 981 933	0	80.	9 172 765	1	143.	8 989 072	0	206.	10 008 046	1
18.	10 923 767	1	81.	9 570 241	2	144.	13 358 103	3	207.	8 170 905	8
19.	2 749 236	1	82.	2 349 444	1	145.	8 262 298	1	208.	5 635 907	3
20.	13 381 974	1	83.	450 600	0	146.	3 886 910	0	209.	4 552 275	1
21.	142 511	0	84.	7 641 157	1	147.	3 049 723	1	210.	1 941 219	1
22.	12 152 644	2	85.	10 942 968	2	148.	5 815 192	1	211.	9 232 513	1
23.	21 508	1	86.	9 776 727	0	149.	2 165 122	2	212.	7 738 098	1
24.	3 445 470	0	87.	13 414 163	2	150.	7 438 010	3	213.	12 039 205	4
25.	6 386 513	4	88.	1 812 161	1	151.	3 759 659	0	214.	42 781	5
26.	920 602	0	89.	6 871 536	2	152.	10 471 501	4	215.	10 793 622	4
27.	12 504 191	2	90.	2 669 136	0	153.	6 767 638	1	216.	7 954 440	7
28.	667 076	0	91.	3 249 791	4	154.	7 165 005	3	217.	2 404 758	2
29.	9 088 515	3	92.	7 784 034	1	155.	7 523 140	0	218.	11 511 826	0
30.	12 254 673	1	93.	6 691 779	0	156.	8 415 204	0	219.	3 777 404	2
31.	11 052 333	4	94.	13 442 366	1	157.	13 260 945	1	220.	13 946 931	1
32.	12 379 716	0	95.	8 721 611	1	158.	9 590 278	1	221.	1 581 111	3
33.	9 093 398	1	96.	13 720 197	2	159.	695 761	0	222.	300 211	4
34.	7 139 900	2	97.	13 313 518	6	160.	11 927 227	2	223.	6 776 679	1
35.	2 507 049	0	98.	4 160 654	4	161.	8 999 946	7	224.	13 340 327	1
36.	8 621 101	1	99.	9 085 932	1	162.	13 607 314	5	225.	641 137	1
37.	6 361 560	2	100.	6 290 378	0	163.	2 361 095	4	226.	4 476 207	2
38.	10 405 499	0	101.	9 678 892	6	164.	3 401 567	1	227.	4 947 319	5
39.	9 224 929	1	102.	6 323 554	1	165.	6 367 604	1	228.	905 854	4
40.	11 631 212	0	103.	12 931 215	3	166.	7 741 470	0	229.	3 409 411	2
41.	9 239 800	0	104.	5 702 031	0	167.	276 404	2	230.	4 553 289	0
42.	6 797 415	1	105.	8 184 351	2	168.	7 183 368	1	231.	2 040 916	8
43.	8 302 698	0	106.	8 972 530	2	169.	3 529 587	1	232.	6 934 483	1
44.	4 902 495	0	107.	6 099 421	1	170.	4 948 443	1	233.	9 664 571	2
45.	8 707 202	0	108.	9 319 479	0	171.	4 768 101	0	234.	7 004 752	1
46.	13 635 658	0	109.	4 699 614	1	172.	434 008	1	235.	10 673 041	1
47.	12 235 722	8	110.	1 498 318	0	173.	5 954 633	1	236.	10 335 153	0
48.	4 336 016	2	111.	229 497	0	174.	11 543 500	1	237.	10 960 712	2
49.	12 959 321	0	112.	8 036 138	6	175.	8 833 411	1	238.	1 490 192	2
50.	12 539 396	3	113.	12 218 611	1	176.	9 828 797	2	239.	4 004 829	3
51.	1 290 198	0	114.	13 414 933	4	177.	1 359 548	4	240.	9 013 816	2
52.	1 135 288	1	115.	12 352 100	1	178.	685 036	3	241.	5 190 402	1
53.	1 507 154	0	116.	1 287 571	4	179.	13 239 927	0	242.	3 813 128	6
54.	6 499 686	2	117.	10 914 954	4	180.	3 019 791	4	243.	5 662 509	1
55.	11 515 464	0	118.	3 414 936	4	181.	8 402 080	15	244.	1 575 738	2
56.	10 264 586	0	119.	11 277 319	2	182.	4 826 481	1	245.	9 841 565	1
57.	9 142 048	2	120.	8 132 693	1	183.	7 048 804	2	246.	12 202 266	2
58.	1 600 046	0	121.	13 199 669	1	184.	7 437 248	2	247.	9 602 530	1
59.	1 604 368	0	122.	3 094 971	1	185.	8 638 906	0	248.	1 188 343	0
60.	11 905 146	2	123.	3 950 095	0	186.	8 029 138	0	249.	9 285 429	3
61.	10 873 135	0	124.	10 126 977	1	187.	5 228 074	7	250.	5 458 203	4
62.	6 194 990	1	125.	969 273	1	188.	1 216 958	0
63.	8 385 503	1	126.	8 744 717	0	189.	4 796 483	6

7. 250 HAFTALIK SAYISAL LOTO SONUÇLARININ ÖRNEKLEM UZAYINDAKİ SIRALARI VE YÜKSEK İKRAMİYE KAZANAN KİŞİ SAYILARI

Sayısal lotoda her hafta çıkan sayıların ortalamalarının 25 civarında toplanacağı beklenir. Böylece, 6’şarlı sayıların örneklem ortalamaları birer eleman olmak üzere, 13.983.816 elemana sahip olan bir kümeden rassal olarak yapılacak çekilişlerde her bir elemanın çekilme şansı eşittir[14]. Nitekim, 250 haftalık çekilişlerin tamamının örneklem uzayının kaçıncı elemanı olduğu, Şekil-1’deki akış şemasından hareketle yazılan bilgisayar programı ile hesaplanmış ve elde edilen sonuçlar Tablo-10’a aktarılmıştır. Her hafta 6 bilen kişilerin sayılarının da verildiği Tablo-10 incelendiğinde, 250 haftalık çekilişlerde birinci hafta çekilişi örneklem uzayına ilişkin kümenin 6.621.970., ikinci hafta 4.248.608., 249. hafta 9.285.429. ve nihayet 250. hafta ise 5.458.203. elemanı olarak gerçekleştiği görülür.

Tablo-10’daki verilerden hareketle 6 bilen kişi sayısı için Tablo-11’deki frekans tablosu elde edilebilir.

Tablo–11 : 250 Hafta Süresince 6 Bilen Kişi Sayısının Frekans Tablosu

Kişi sayısı	Hafta sayısı	Birikimli H.Say.	Hafta Yüzdesi	Birikimli H.Yüzdesi
0	63	63	25,2	25,2
1	82	145	32,8	58,0
2	49	194	19,6	77,6
3	13	207	5,2	82,8
4	21	228	8,4	91,2
5	4	232	1,6	92,8
6	6	238	2,4	95,2
7	4	242	1,6	96,8
8	5	247	2,0	98,8
9	1	248	0,4	99,2
13	1	249	0,4	99,6
15	1	250	0,4	100,0
	250		100,0

Tablo-11’e göre, 250 haftalık sayısal loto çekilişlerinin 63 haftasında (çekilişlerin %25,2’sinde) 6 sayıyı birden bilen olmamış ve ikramiye bir sonraki haftaya devretmiştir. Bununla birlikte, 250 haftanın 82’sinde (çekilişlerin %32,8’inde) sadece bir kişi 6 sayıyı bilirken, 49 hafta 2 kişi (%19,6), 13 hafta 3 kişi, 21 hafta 4 kişi, 4 hafta 5 kişi, 6 hafta 6 kişi, 4 hafta 7 kişi, 5 hafta 8 kişi, 1 (191.) hafta 9 kişi, 1 (10.) hafta 13 kişi ve 1 (181.) hafta 15 kişi bilmiştir.

Diğer taraftan, 250 haftalık sayısal loto sonuçlarının sıra değerlerinin ortalaması 7.060.306 olarak hesaplanmıştır. Bunun dışında, söz konusu tablodaki sıralar küçükten büyüğe doğru sıralandıktan sonra, Tablo-12’deki betimsel istatistiklere ulaşılmıştır. Tablo-10’daki 250 haftalık çekilişlerin her birinin örneklem uzayı sırasının grafiği Şekil-8’de ve bu sıraların histogramı ile normallik testi sonuçları Şekil-9’da görüldüğü gibidir.

Tablo–12 : 250 Haftalık Sayısal Loto Sonuçlarının Örneklem Uzayı Sırasının Betimsel İstatistikleri

Örneklem Uzayı Sırası İçin Betimsel İstatistik	Değeri
Birinci Kartil	3587105,0
Üçüncü Kartil	10455000,5
Minimum sıra	21508,0
Maksimum sıra	13946931,0
Medyan sıra	7120571,5

Şekil-8 : 250 Haftalık Sayısal Loto Sonuçlarının Örneklem Uzayı Sırasının Grafiği

Şekil-9 : 250 Haftalık Çekilişlerin Örneklem Uzayı Sırasının Histogramı ve Normallik Testleri

Şekil-8’deki sıraların haftadan haftaya rassal olarak dağıldığı ve çekiliş sonuçlarının tesadüfi olduğu söylenebilir. Bu durum Şekil-9 ile de desteklenmektedir. Şekil-9, daha önce irdelenen Şekil-4’e de benzemektedir. Şekil-4 sayısal loto çekilişlerinin histogramı iken, Şekil-9 çekilişlerin örneklem uzayındaki sırasının histogramıdır.

8. 250 HAFTALIK SAYISAL LOTO SONUÇLARININ İSTATİSTİKSEL PROSES KONTROLU GRAFİKLERİ İLE İRDELENMESİ

Üretim prosesinden gelen gözlem sonuçları, ürünlerin çeşitli özelliklerine ilişkin ölçümlere veya değerlendirmelere bağlı olarak elde edilen değerlerdir. Aynı mantıkla, sayısal loto prosesi de özde bir üretim prosesinden farklı yapıda olmakla birlikte, 1 ile 49 arasındaki sayılardan iadesiz olarak 6 sayının rassal olarak üretildiği (çekildiği) bir prosestir. Bu nedenle, sayısal loto sonuçlarına istatistiksel proses kontrol grafikleri uygulanabilir. Bu amaçla, nicel kontrol grafiklerinden Ortalama ve Standart Sapma Kontrol Grafiği, Kümülatif Toplam (CUSUM) Kontrol Grafiği, Hareketli Ortalama (MA) Kontrol Grafiği ve Üstel Ağırlıklı Hareketli Ortalama (EWMA) Kontrol Grafiği uygulanacaktır. Böylece, sayısal loto çekiliş sonuçlarına göre oluşturulan grafikler üzerindeki noktaların, kontrol sınırlarının içinde kalıp kalmadıkları incelenecektir. Bu durum, sayısal loto sonuçlarının kontrolda veya aynı anlama gelmek üzere, istatistiksel olarak dengede olup olmadığını belirleyecektir.

Sayısal loto oyununda 6 sayının bilinmesi olasılığı, çok küçük olduğundan, örneklem uzayında olup da çekilme olasılığı çok az olan (örneğin; 1,2,3,4,5,6 veya 41,42,43,44,45,46 vb.) aykırı veya ekstrem sayıların, örneklem uzayından çıkarılması (dışlanması) sonucunda ikramiye kazanma olasılığı nisbi de olsa arttırılabilir. Ayrıca, yapılan çekilişlerin örnekleme dağılımı belirlenerek rassal olup olmadığı da araştırılabilir. Bu nedenle, 250 hacimlik örneklemden hareketle elde edilen örneklem istatistiklerine dayanarak, anakütleye ilişkin bazı çıkarımlarda bulunulacaktır. Böylece, %90, %95 ve %99 olasılık düzeylerinde ikramiye kazanması muhtemel olan sayılardan oluşan daha az sayıda elemandan oluşan örneklem uzayı bulunacaktır.

Sayısal lotoda her hafta 6 sayı çekilmesi nedeniyle “örneklem hacmi” n=6 ve 250 haftaya ilişkin çekilişin dikkate alınması nedeniyle “örneklem sayısı” k=250’dir. Nihayet, k=250 ve n=6 olmak üzere, kn=1500 tane “gözlem değeri (x_ji)” vardır. Söz konusu gözlem değerlerinin sayısal olması nedeniyle, nicel kontrol grafiklerine başvurulabilir[15]. Örneklem hacminin 6 (n<10) olması nedeniyle, bu kontrol grafiklerinden Ortalama () ve Genişlik (R) kontrol grafiklerinin kullanılması uygundur. Ancak, genişlik değerlerinin sadece iki ekstrem değer arasındaki değeri dikkate alması nedeniyle, sayısal loto açısından vereceği bilgi yetersizdir. Bu nedenle, Ortalama ve Standart Sapma kontrol grafikleri kullanılacaktır.

Bu amaçla, Ek-1’de yer alan 250 haftalık x_ji gözlemlerinin (j=1,2,...,250 ve i=1,2,...,6) olmak üzere, her hafta çekilen örneklemlerin ortalamaları (Tablo-13) ve standart sapmaları hesaplanmıştır[16]. Bu sonuçlardan hareketle, Ortalama ve Standart Sapma kontrol grafikleri Şekil-10 ve Şekil-11’de görüldüğü gibidir.

Tablo–13 : 250 Haftalık Sayısal Loto Sonuçlarının Ortalamaları

Haf.	Ort.	Haf.	Ort.	Haf.	Ort.	Haf.	Ort.	Haf.	Ort.	Haf.	Ort.	Haf.	Ort.	Haf.	Ort.	Haf.	Ort.
1.	25,500	29.	23,667	57.	26,667	85.	32,000	113.	25,000	141.	18,167	169.	29,833	197.	27,667	225.	17,000
2.	21,000	30.	30,833	58.	22,833	86.	22,667	114.	31,667	142.	17,000	170.	22,500	198.	25,167	226.	26,333
3.	27,833	31.	32,500	59.	26,833	87.	28,333	115.	32,500	143.	21,000	171.	16,167	199.	23,833	227.	17,500
4.	17,167	32.	27,833	60.	25,333	88.	16,000	116.	23,333	144.	31,833	172.	18,167	200.	28,833	228.	18,667
5.	20,167	33.	24,500	61.	24,500	89.	34,167	117.	22,667	145.	20,333	173.	26,000	201.	24,333	229.	13,000
6.	21,833	34.	19,500	62.	17,500	90.	27,000	118.	18,833	146.	20,333	174.	30,000	202.	24,167	230.	24,500
7.	18,833	35.	18,500	63.	26,167	91.	9,667	119.	29,167	147.	22,167	175.	18,500	203.	30,667	231.	14,167
8.	31,667	36.	25,333	64.	22,667	92.	30,167	120.	21,167	148.	30,833	176.	24,000	204.	21,333	232.	21,500
9.	20,167	37.	23,000	65.	27,333	93.	27,833	121.	31,000	149.	19,000	177.	25,333	205.	27,667	233.	18,500
10.	25,833	38.	23,167	66.	30,667	94.	33,667	122.	26,167	150.	25,167	178.	16,667	206.	25,500	234.	25,833
11.	35,167	39.	25,500	67.	29,500	95.	32,167	123.	29,000	151.	27,167	179.	35,500	207.	17,000	235.	29,167
12.	30,833	40.	34,667	68.	29,333	96.	30,333	124.	32,500	152.	26,000	180.	22,167	208.	30,500	236.	29,500
13.	30,500	41.	26,500	69.	25,000	97.	32,000	125.	20,167	153.	23,833	181.	28,167	209.	25,000	237.	28,167
14.	19,333	42.	26,500	70.	29,833	98.	19,000	126.	19,333	154.	15,500	182.	22,167	210.	22,333	238.	26,667
15.	33,000	43.	14,667	71.	18,333	99.	25,333	127.	23,333	155.	21,000	183.	16,000	211.	30,000	239.	23,500
16.	32,333	44.	21,333	72.	17,000	100.	18,167	128.	21,333	156.	17,833	184.	25,667	212.	27,833	240.	22,667
17.	18,667	45.	30,167	73.	22,333	101.	19,667	129.	23,000	157.	28,333	185.	32,333	213.	21,000	241.	22,167
18.	25,833	46.	30,667	74.	16,500	102.	22,167	130.	29,667	158.	25,000	186.	23,167	214.	8,167	242.	21,000
19.	20,167	47.	31,500	75.	27,333	103.	33,667	131.	26,333	159.	22,667	187.	19,833	215.	26,833	243.	27,167
20.	36,667	48.	28,167	76.	27,167	104.	27,833	132.	24,500	160.	27,833	188.	22,333	216.	21,833	244.	27,333
21.	18,000	49.	26,833	77.	20,167	105.	16,167	133.	21,833	161.	18,333	189.	13,500	217.	23,500	245.	25,333
22.	29,333	50.	33,333	78.	22,833	106.	27,667	134.	20,000	162.	30,167	190.	24,500	218.	30,667	246.	26,167
23.	17,000	51.	19,500	79.	28,500	107.	21,833	135.	36,167	163.	20,333	191.	23,167	219.	18,167	247.	28,167
24.	15,667	52.	28,333	80.	25,833	108.	23,167	136.	36,500	164.	19,833	192.	26,167	220.	37,000	248.	25,667
25.	24,667	53.	27,500	81.	21,500	109.	22,667	137.	30,167	165.	20,500	193.	21,500	221.	26,000	249.	32,167
26.	22,000	54.	20,500	82.	16,333	110.	23,833	138.	33,833	166.	29,500	194.	26,333	222.	23,667	250.	28,167
27.	29,000	55.	33,333	83.	18,000	111.	24,167	139.	24,167	167.	17,167	195.	22,833	223.	27,333	G.Ort.	24,70133
28.	24,000	56.	28,667	84.	31,000	112.	23,333	140.	32,667	168.	21,667	196.	22,167	224.	29,833

Tablo-13’e göre, 250 haftalık örneklem ortalamalarından 214. hafta 8,167 ile en küçük ve 220. hafta 37 ile en büyük ortalamaya sahip olarak bulunmuştur.

Şekil-10 : Sayısal Loto Sonuçlarının Ortalama Kontrol Grafiği

Şekil-11 : Sayısal Loto Sonuçlarının Standart Sapma Kontrol Grafiği

Şekil-10 ve Şekil-11’e göre hem ortalama hem de standart sapma kontrol grafiğinde yer alan bütün noktalar, kontrol sınırlarının içinde bulunmaktadır. Söz konusu kontrol sınırları ±3s uzaklıklarını ifade eder ve %99,73 güven sınırlarını gösterir. Kontrol grafiklerinde uyarı sınırları ise ±1,5s uzaklıkları olarak hesaplanmıştır. Bu verilere göre, ortalamalar 8 hafta alt uyarı sınırının altında ve 10 hafta üst uyarı sınırının üzerindedir. Aynı mantıkla, standart sapmalar ise 7 hafta alt uyarı sınırının altında ve 4 hafta üst uyarı sınırının üzerindedir.

O halde, 13.983.816 elemanlı örneklem uzayından ortalaması 15,842 ile 33,561 arasında ve standart sapması 7,0922 ile 20.441 arasında olan elemanların sayısı bilgisayar programı ile 12.183.912 olarak bulunmuştur. Bu sonuç, ±1,5s uzaklıkları için geçerlidir. Aynı mantıkla, ±1s uzaklığına dayanarak örneklem uzayında ortalaması 18,795 ile 30,608 arasında ve standart sapması da 9,3169 ile 18,216 arasında olan 8.489.336 eleman vardır. ±0,75s uzaklığına dayanarak örneklem uzayında ortalaması 20,272 ile 29,131 arasında ve standart sapması da 10,429 ile 17,103 arasında olan 5.662.008 eleman vardır. Nihayet, ±0,5s uzaklığına dayanarak örneklem uzayında ortalaması 21,748 ile 27,655 arasında ve standart sapması da 11,542 ile 15,991 arasında olan 2.825.911 eleman vardır. Bu duruma göre, 13.983.816 elemanlı kümeden örneklem çekmek yerine, çıkma olasılığı göreli olarak daha yüksek olasılığa sahip elemanlardan oluşan 2.825.911 elemanlı kümeden seçilmesi önerilebilir.

Öte yandan, sayısal loto çekilişlerinde, örneklem ortalamalarında kayma olup olmadığını belirlemek amacıyla, her bir örneklem ortalaması ile 250 haftalık sonuçlardan elde edilen proses ortalaması arasındaki cebirsel sapmalar hesaplanmış ve sonuçlar Şekil-12’deki CUSUM kontrol grafiğine işaretlenmiştir.

Şekil-12’ye göre, 250 haftalık çekilişlere ilişkin ortalamaların proses ortalamasından cebirsel sapmalarının birikimli toplamlarının sıfır etrafında rassal olarak dağılmadığı söylenebilir. Birikimli toplamlar, sıfırın her iki yönüne doğru kaysalar da daha çok sıfırın üzerinde toplanmıştır. Kaymalara ilişkin farklı yönlerde küçük trendler olsa da, genel olarak 140. haftaya kadar pozitif trend gözlenirken, bu haftadan sonra negatif trend göze çarpmaktadır. Proses ortalamasındaki ±1s’lık kaymaları belirleyebilen CUSUM grafiğinde, V maskesi 250 haftalık örneklemin tamamına uygulanmış ve sadece 91., 136., 138. ve 214. haftalara ilişkin örneklemlerde Şekil-13’de de görülen kontrol dışı durumlara rastlanmıştır[17].

Şekil-12 : Sayısal Loto Sonuçlarının CUSUM Kontrol Grafiği

Şekil-13 : V Maskesine Göre Kontrol Dışına Çıkan Haftalar

91. Hafta 136. Hafta

138. Hafta 214. Hafta

Aynı mantıkla, sayısal loto sonuçlarına ilişkin 5’erli hareketli ortalamalar hesaplanmış ve ±3s kontrol sınırları ile ±1,5s uyarı sınırları ile Şekil-14’deki hareketli ortalama (MA) kontrol grafiğine ulaşılmıştır. Grafikte, + sembolü örneklem ortalamalarını, küçük daire sembolü ise örneklem ortalamalarının 5’erli hareketli ortalamalarını gösterir.

Şekil-14’deki MA grafiğine göre, 250 haftalık sayısal loto çekilişlerine ilişkin örneklem ortalamalarının 5’erli hareketli ortalamalarının kontrol dışına çıkmadığı ve proses ortalaması etrafında rassal olarak dağıldığı görülmektedir.

Nihayet, üstel düzeltme ortalaması l=0,1 olmak üzere, üstel ağırlıklı hareketli ortalamalar hesaplanarak elde edilen değerler, ±3s kontrol sınırları ve ±1,5s uyarı sınırları ile Şekil-15’deki üstel ağırlıklı hareketli ortalama (EWMA) kontrol grafiğine ulaşılmıştır[18]. Burada da, + sembolü örneklem ortalamalarını, küçük daire sembolü ise örneklem ortalamalarının 5’erli hareketli ortalamalarını göstermektedir. Üstel ağırlıklı hareketli ortalama kontrol grafiğinde de kontrol sınırları dışına çıkan herhangi bir noktaya rastlanmayıp, noktaların proses ortalaması etrafında rassal olarak dağıldığı söylenebilir.

Şekil-14 : Sayısal Loto Sonuçlarının MA Kontrol Grafiği

Şekil-15 : Sayısal Loto Sonuçlarının EWMA Kontrol Grafiği

9. SONUÇ

Bu çalışmada, rassal olarak çekilen 6 sayının tamamının bilinmesi olasılığının milyarda 71,51 olduğu sayısal loto oyununun, 250 haftalık sonuçları istatistiksel olarak değerlendirilmiştir. Elde edilen temel sonuç, bu oyunun tamamıyla şansa dayalı olduğu ve çekilişlerin rassal yapıldığı şeklindedir. Bunun dışında dikkat çekici nitelikte olan bazı bulgulara da ulaşılmıştır.

49 sayı arasından herhangi bir sayının çıkması (frekansı), diğerlerine göre önemli sayılabilecek nitelikte farklılık göstermemiştir. Nitekim, 27 sayısı 40 kez çıkarken, 14, 16 ve 38 sayıları 38’er kez, 17, 20 ve 39 sayıları 37’şer kez çıkmış, 23 sayısı ise en az (22 kez) çıkan sayı olmuştur.

1-10, 11-20, 21-30, 31-40 ve 41-50 ile 1-7, 8-14, 15-21, 22-28, 29-35, 36-42 ve 43-49 arasındaki sayıların çekiliş miktarları (frekansları) arasında önemli bir farka rastlanmamıştır. 1500 sayının çekildiği 250 haftada, 752 sayı çift iken, 748 sayı tek sayı olarak çıkmıştır. Çekilen sayıların %25’i 13’ün altında, %25’i 37’nin üzerinde olup, medyan değer olan 25 sayısına uzaklıkları eşittir. Çekilişlerin 8 haftasında üç sayı ardışık olarak çıkarken, 3 haftasında da dört sayı ardışık olarak gerçekleşmiştir. Çekilişler 63 hafta hiç kimsenin 6 sayıyı bilmemesi nedeniyle devretmiş, 82 hafta 1 kişi, 49 hafta 2 kişi ve 1’er hafta 9, 13 ve 15 kişi bilmiştir.

Çekiliş sonuçlarının normal dağılıma uymadığı, ancak dikdörtgenel dağılıma benzediği belirlenmiştir. Benzer bulguya, çekiliş sonuçlarının sistematik niteliğe sahip olan 13.983.816 hacimlik örneklem uzayındaki sıralar için de ulaşılmıştır.

Kontrol grafiklerine göre, 250 haftalık çekilişlerin rassal dağıldığı sonucuna ulaşılmıştır. Ayrıca, örneklem uzayındaki 13.983.816 eleman arasından çekim yapmak yerine, ±1s uzaklığındaki ortalaması 18,795 ile 30,608 arasında ve standart sapması da 9,3169 ile 18,216 arasında olan 8.489.336 hacimlik örneklem uzayından çekiliş yapılabilir. Aynı mantıkla, ±0,5s uzaklığındaki ortalaması 21,748 ile 27,655 arasında ve standart sapması da 11,542 ile 15,991 arasında olan 2.825.911 hacimlik örneklem uzayından çekiliş yapılabilir. Böylece, bugüne kadar yapılan 250 haftalık çekilişlere göre elde edilen sonuçlara dayanarak elde edilen aralıktaki sayılardan oluşan örneklem uzayı kullanılabilir. Bu durum, göreli olarak da olsa yüksek ikramiye kazanma olasılığını arttırır.

YARARLANILAN KAYNAKLAR

ACAR Fatma, Normallik Testlerine İlişkin Bir Karşılaştırma, U.Ü. İ.İ.B.F. Dergisi, C.16, S.4. http://iktisat.uludag.edu.tr/dergi.

AYTAÇ Mustafa, Matematiksel İstatistik, Ezgi Kitabevi Yayınları, Genişletilmiş 2. Baskı, Bursa, Mart 1991.

AYTAÇ Mustafa, SEVÜKTEKİN Mustafa ve IŞIĞIÇOK Erkan, Sosyal Bilimlerde Matematik, Ezgi Kitabevi Yayınları, Gözden geçirilmiş 2. Baskı, Ekim 1998.

GRANT Eugene L. and LEAVENWORTH Richard S., Statistical Quality Control, Seventh Edition, Mc Graw-Hill Companies, Inc., 1996.

IŞIĞIÇOK Erkan, İstatistiksel Proses Kontrolu : Sayısal Loto Sonuçları Üzerine Bir Uygulama Denemesi, U.Ü. İ.İ.B.F. Yayınlanmamış Doçentlik Çalışması, Bursa 1999.

MONTGOMERY Douglas C. Introduction to Statistical Quality Control, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., Singapore, 1991.

ÖZDAMAR Kazım, Paket Programlar İle İstatistiksel Veri Analizi, 2. Baskı, Kaan Kitabevi, 1999.

SERPER Özer, Uygulamalı İstatistik 1, Ezgi Kitabevi Yayınları, Gözden geçirilmiş 4. Baskı, Bursa, Eylül 2000.

SHARMA Subhash, Applied Multivariate Techniques, John Wiley & Sons, Inc. USA, 1996.

----------, www.millipiyango.gov.tr

----------, www.sayisal-loto.com.

Ek–1 : 250 Haftalık Sayısal Loto Çekiliş Sonuçları

		Sayılar								Sayılar								Sayılar
Hafta	Tarih	1.	2.	3.	4.	5.	6.	Hafta	Tarih	1.	2.	3.	4.	5.	6.	Hafta	Tarih	1.	2.	3.	4.	5.	6.
1	16.11.96	5	15	20	32	34	47	85	27.06.98	11	15	33	40	45	48	169	05.02.00	3	5	34	42	47	48
2	23.11.96	3	14	16	23	27	43	86	04.07.98	9	14	16	22	27	48	170	12.02.00	4	7	17	20	41	46
3	30.11.96	6	22	26	31	38	44	87	1107.98	20	22	24	29	34	41	171	19.02.00	4	6	8	14	27	38
4	07.12.96	7	11	16	18	25	26	88	18.07.98	2	3	13	19	22	37	172	26.02.00	1	4	14	19	34	37
5	14.12.96	2	5	14	30	31	39	89	25.07.98	5	24	41	43	45	47	173	04.03.00	5	6	27	38	39	41
6	21.12.96	2	14	24	25	30	36	90	01.08.98	2	10	35	36	38	41	174	11.03.00	21	24	26	27	39	43
7	28.12.96	4	8	14	24	27	36	91	08.08.98	3	4	5	10	16	20	175	18.03.00	8	10	11	19	21	42
8	04.01.97	3	17	36	41	46	47	92	15.08.98	6	21	29	38	40	47	176	25.03.00	9	15	17	24	33	46
9	11.01.97	4	15	16	18	27	41	93	22.08.98	5	17	18	39	42	46	177	01.04.00	1	14	19	32	40	46
10	18.01.97	5	11	24	29	41	45	94	29.08.98	20	23	37	39	41	42	178	08.04.00	1	6	13	16	24	40
11	25.01.97	22	26	37	38	39	49	95	05.09.98	7	29	36	38	41	42	179	15.04.00	18	32	34	42	43	44
12	01.02.97	13	22	33	38	39	40	96	12.09.98	23	27	28	30	35	39	180	22.04.00	2	17	20	29	30	35
13	08.02.97	11	18	30	40	41	43	97	19.09.98	19	23	25	40	41	44	181	29.04.00	7	14	25	32	44	47
14	15.02.97	3	4	19	26	27	37	98	26.09.98	3	12	22	23	25	29	182	06.05.00	4	6	15	21	42	45
15	22.02.97	14	28	32	38	41	45	99	03.10.98	8	13	20	32	37	42	183	13.05.00	6	8	10	14	22	36
16	01.03.97	18	28	29	32	43	44	100	10.10.98	5	10	14	15	25	40	184	20.05.00	6	12	24	27	42	43
17	08.03.97	2	16	20	22	25	27	101	17.10.98	9	12	19	22	24	32	185	27.05.00	7	21	36	39	45	46
18	15.03.97	11	15	21	33	37	38	102	24.10.98	5	10	20	27	31	40	186	03.06.00	7	9	15	18	44	46
19	22.03.97	2	12	13	25	30	39	103	31.10.98	17	19	30	43	45	48	187	10.06.00	4	10	18	21	30	36
20	29.03.97	19	32	33	41	46	49	104	07.11.98	4	20	22	35	38	48	188	17.06.00	1	12	13	34	36	38
21	05.04.97	1	2	18	19	23	45	105	14.11.98	7	11	15	17	21	26	189	24.06.00	4	6	11	16	21	23
22	12.04.97	14	17	28	33	35	49	106	21.11.98	8	11	24	36	43	44	190	01.07.00	12	13	25	30	33	34
23	19.04.97	1	2	4	12	35	48	107	28.11.98	5	8	11	25	34	48	191	08.07.00	4	11	18	32	36	38
24	26.04.97	3	5	10	22	23	31	108	05.12.98	8	19	20	27	32	33	192	15.07.00	9	11	23	30	39	45
25	03.05.97	5	11	17	36	38	41	109	12.12.98	4	5	14	32	35	46	193	22.07.00	4	16	19	26	30	34
26	10.05.97	1	8	16	28	39	40	110	19.12.98	1	17	25	26	28	46	194	29.07.00	1	14	16	37	44	46
27	17.05.97	15	20	23	30	39	47	111	26.12.98	1	3	7	39	46	49	195	05.08.00	4	19	21	28	29	36
28	24.05.97	1	6	10	35	43	49	112	02.01.99	7	9	16	22	40	46	196	12.08.00	5	12	17	19	34	46
29	31.05.97	8	13	21	28	34	38	113	09.01.99	14	20	21	23	28	44	197	19.08.00	7	10	16	42	43	48
30	07.06.97	14	21	27	35	42	46	114	16.01.99	20	22	24	34	41	49	198	26.08.00	12	17	20	24	34	44
31	14.06.97	11	18	36	38	44	48	115	23.01.99	14	32	33	34	35	47	199	02.09.00	1	3	26	30	39	44
32	21.06.97	15	16	21	28	38	49	116	30.01.99	1	13	15	28	41	42	200	09.09.00	12	13	26	27	46	49
33	28.06.97	8	13	23	25	38	40	117	06.02.99	11	15	19	24	28	39	201	16.09.00	2	11	22	32	39	40
34	05.07.97	6	9	10	13	38	41	118	13.02.99	3	5	7	19	38	41	202	23.09.00	10	12	16	31	36	40
35	12.07.97	2	9	11	13	27	49	119	20.02.99	12	13	30	31	41	48	203	30.09.00	16	18	22	39	40	49
36	19.07.97	7	21	22	30	33	39	120	27.02.99	7	10	19	25	32	34	204	07.10.00	1	6	16	30	31	44
37	26.07.97	5	11	13	24	38	47	121	06.03.99	18	25	29	34	38	42	205	14.10.00	15	18	29	31	36	37
38	02.08.97	10	15	17	28	32	37	122	13.03.99	2	19	27	28	33	48	206	21.10.00	9	20	22	30	34	38
39	09.08.97	8	16	20	28	36	45	123	20.03.99	3	9	26	42	46	48	207	28.10.00	7	11	13	15	25	31
40	16.08.97	12	27	34	39	47	49	124	27.03.99	9	29	32	33	43	49	208	04.11.00	4	17	34	40	42	46
41	23.08.97	8	16	26	28	34	47	125	03.04.99	1	9	10	23	30	48	209	11.11.00	3	24	25	31	32	35
42	30.08.97	5	20	27	29	32	46	126	10.04.99	8	9	10	24	32	33	210	18.11.00	2	4	10	30	39	49
43	06.09.97	7	13	14	16	17	21	127	17.04.99	1	9	17	23	43	47	211	25.11.00	8	16	22	43	45	46
44	13.09.97	4	7	10	21	37	49	128	24.04.99	5	9	11	31	35	37	212	02.12.00	6	19	28	32	35	47
45	20.09.97	7	27	30	33	38	46	129	01.05.99	2	5	6	32	44	49	213	09.12.00	14	15	16	25	27	29
46	27.09.97	22	25	26	32	34	45	130	08.05.99	14	15	26	32	45	46	214	16.12.00	1	2	6	7	12	21
47	04.10.97	14	20	28	38	41	48	131	15.05.99	6	18	26	33	34	41	215	23.12.00	11	13	14	39	40	44
48	11.10.97	3	15	32	36	38	45	132	22.05.99	7	14	15	26	37	48	216	30.12.00	7	8	18	23	33	42
49	18.10.97	17	21	22	24	30	47	133	29.05.99	2	10	13	26	33	47	217	06.01.01	2	8	9	32	43	47
50	25.10.97	15	21	35	37	43	49	134	05.06.99	4	9	12	14	38	43	218	13.01.01	12	19	30	31	45	47
51	01.11.97	1	13	16	19	33	35	135	12.06.99	27	29	35	39	42	45	219	20.01.01	3	8	10	12	30	46
52	08.11.97	1	10	35	37	40	47	136	19.06.99	12	39	40	41	42	45	220	27.01.01	30	31	35	38	43	45
53	15.11.97	1	17	31	32	41	43	137	26.06.99	17	25	29	31	33	46	221	03.02.01	1	20	25	26	40	44
54	22.11.97	5	13	15	27	31	32	138	03.07.99	24	26	27	38	40	48	222	10.02.01	1	3	16	35	38	49
55	29.11.97	12	19	35	41	46	47	139	10.07.99	6	8	17	32	36	46	223	17.02.01	5	19	29	32	39	40
56	06.12.97	10	12	21	37	43	49	140	17.07.99	17	27	30	38	40	44	224	24.02.01	19	25	28	29	36	42
57	13.12.97	8	14	21	37	39	41	141	24.07.99	6	7	12	17	20	47	225	03.03.01	1	6	8	13	31	43
58	20.12.97	1	21	24	29	30	32	142	31.07.99	4	10	16	18	19	35	226	10.03.01	3	20	21	27	43	44
59	27.12.97	1	21	26	32	33	48	143	07.08.99	8	12	13	21	25	47	227	17.03.01	4	7	17	18	24	35
60	03.01.98	13	20	25	28	31	35	144	14.08.99	19	27	29	32	36	48	228	24.03.01	1	8	14	18	29	42
61	10.01.98	11	14	20	27	37	38	145	21.08.99	7	12	17	20	28	38	229	31.03.01	3	5	7	10	17	36
62	17.01.98	5	9	12	16	26	37	146	28.08.99	3	9	12	15	39	44	230	07.04.01	3	24	26	27	30	37
63	24.01.98	7	14	19	34	41	42	147	04.09.99	2	18	20	23	26	44	231	14.04.01	2	5	7	13	27	31
64	31.01.98	3	8	11	30	40	44	148	11.09.99	4	28	31	39	41	42	232	21.04.01	6	7	8	31	33	44
65	07.02.98	2	7	27	41	42	45	149	18.09.99	2	6	7	14	39	46	233	28.04.01	9	12	16	20	21	33
66	14.02.98	19	23	28	30	39	45	150	25.09.99	6	12	24	32	33	44	234	05.05.01	6	7	18	34	42	48
67	21.02.98	10	18	27	35	38	49	151	02.10.99	3	7	28	32	46	47	235	12.05.01	10	25	29	32	33	46
68	28.02.98	11	16	27	35	38	49	152	09.10.99	10	16	25	27	29	49	236	19.05.01	10	13	26	38	41	49
69	07.03.98	3	8	15	35	40	49	153	16.10.99	5	19	24	26	29	40	237	26.05.01	11	16	20	28	45	49
70	14.03.98	12	16	23	36	43	49	154	23.10.99	6	9	13	17	18	30	238	02.06.01	1	17	21	37	40	44
71	21.03.98	2	7	16	24	25	36	155	30.10.99	6	14	17	21	22	46	239	09.06.01	3	10	17	35	36	40
72	28.03.98	6	8	9	20	25	34	156	06.11.99	7	15	16	21	22	26	240	16.06.01	8	12	17	27	28	44
73	04.04.98	1	4	15	33	39	42	157	13.11.99	19	20	26	28	31	46	241	23.06.01	4	10	12	14	45	48
74	11.04.98	2	8	14	17	20	38	158	20.11.99	9	11	14	31	40	45	242	30.06.01	3	8	14	25	36	40
75	18.04.98	1	20	22	35	39	47	159	27.11.99	1	6	14	27	39	49	243	07.07.01	4	18	28	36	38	39
76	25.04.98	4	13	20	34	44	48	160	04.12.99	13	21	26	27	33	47	244	14.07.01	1	20	22	37	40	44
77	02.05.98	6	10	18	28	29	30	161	11.12.99	8	12	15	17	27	31	245	21.07.01	9	15	20	26	35	47
78	09.05.98	5	9	20	28	35	40	162	18.12.99	22	23	24	25	40	47	246	28.07.01	14	19	23	31	34	36
79	16.05.98	13	16	28	29	39	46	163	25.12.99	2	7	18	22	36	37	247	04.08.01	9	11	16	42	45	46
80	23.05.98	8	15	17	35	36	44	164	01.01.00	3	5	6	15	41	49	248	11.08.01	1	11	21	27	46	48
81	30.05.98	9	11	12	13	37	47	165	08.01.00	5	11	14	23	26	44	249	18.08.01	8	17	37	39	45	47
82	06.06.98	2	7	16	17	27	29	166	15.01.00	6