DOĞRUSAL VE DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERLE ÖNGÖRÜ: DURAĞAN VE DURAĞAN OLMAMANIN ETKİLERİ

Nuri UÇAR Nezir KÖSE Sezgin AKSOY

Bilkent Üniversitesi Gazi Üniversitesi Gazi Üniversitesi

Ekonomi Bölümü Ekonometri Bölümü Ekonometri Bölümü

1. Giriş

Son yıllarda yapılan öngörü çalışmaları (Bkz. Gonzalez ve Moral,1995; Bidarkota,1998; Arino ve Franses, 2000) göstermektedir ki doğrusal ve doğrusal olmayan modellerin öngörü performansları farklılaşmaktadır. Ayrıca, değişkenlerin zaman serisi özellikleri de (durağan-durağan olmama) öngörüler üzerinde etkili olmaktadır. Bu çalışmada, enflasyon öngörü performansı açısından doğrusal ve doğrusal olmayan modellerin karşılaştırılması, değişkenlerin durağan ve durağan olmamasının etkileri ve farklı model öngörülerinin birleştirilmesinin öngörü başarısına katkısı araştırılmıştır.

Çalışmanın organizasyonu yukarıda belirtilen hedefler çerçevesinde şu şekilde planlanmıştır. İkinci bölümde, çalışmada yer alan değişkenlere ait zaman serisi verilerinin özellikleri analiz edilmiştir. Üçüncü bölümde, enflasyon öngörüsünde kullanılan modeller:

(i) Durağan ve durağan olmayan verilerle vektör otoregressif modeller

(ii) Durağan ARMA modeli (Box-Jenkins metodolojisi)

(iii) Durağan ve durağan olmayan verilerle yapay sinir ağları (Artificial Neural Network)

(iv) Durağan olmayan verilerle doğrusal olmayan modeller

başlıkları altında ele alınmıştır. Değişkenlerin düzeydeki değerleri ile ifade edilen doğrusal olmayan modeller için denenen matematiksel formlardan dört tanesinin uygun olduğu sonucu elde edilmiştir. Böylece, enflasyon öngörüsünde kullanılan modellerin sayısı dokuz ile sınırlandırılmıştır. Dördüncü bölümde ise öngörü periyodu dört olmak üzere öngörü başarısı en yüksek model “karekök ortalama hata kare (RMSE)” kriterine göre belirlenmiştir. Beşinci bölüm, öngörü başarısı yüksek olan modellerin birleştirilmesi yöntemiyle, öngörü performansının arttırılmasına yönelik bilgileri içermektedir. Çalışma, elde edilen bulguların değerlendirilmesi ile sona ermektedir.

2. Verilerin Zaman Serisi Özellikleri

Çalışmada, enflasyonun göstergesi olarak toptan eşya fiyat endeksi ve açıklayıcı değişken olarak da döviz kuru (TL/$) alınmıştır. Bu değişkenlere ilişkin veri seti 1982.Ocak ve 2001.Haziran dönemlerini kapsayan aylık gözlemlerden oluşmaktadır. Değişkenlerin kodları aşağıdaki gibidir.

TEFE: Toptan Eşya Fiyat Endeksi (1987=100)

USD : Döviz Kuru (TL/$)

Çalışma kapsamında yer alan değişkenlerin zamana göre eğilimleri, düzey, logaritmik dönüşüm ve logaritmik birinci sıra fark şeklinde Grafik 1. de verilmiştir. Değişkenlerin düzeydeki eğilimi üssel büyüme şeklindedir. Logaritmik dönüşüm vasıtasıyla doğrusal trend içeren bir eğilim elde edilmiştir. Logaritmik birinci sıra fark serisindeki eğilim durağan bir yapıya işaret etmektedir. Ayrıca, 1994. Nisan krizinin neden olduğu yapısal kırılma da net bir şekilde gözlenmiştir.

Değişkenlerin durağanlığı 1994 yılı Nisan ayında gözlenen kırılma nedeniyle Perron (1989) birim kök testi ile araştırılmıştır. Perron birim kök testi genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) regresyon eşitliğine 1994. Nisan ayında 1, diğer dönemlerde sıfır değerini alan kukla değişken ilave edilerek gerçekleştirilmiştir (Model A). Perron ADF eşitliği için uygun gecikme yapısı maksimum gecikme uzunluğu 12 olmak üzere Campbell-Perron (1991) tarafından önerilen yaklaşımla belirlenmiştir. Elde edilen bulgular Tablo.1 de verilmiştir. Perron ADF testi sonuçları, gerek TEFE gerek USD zaman serisinin logaritmik birinci sıra farkta birim kök içermediğini diğer bir ifadeyle durağan olduğunu göstermiştir.

Tablo.1: Perron Model (A) ADF Testi Sonuçları
Değişken Kodu	Gecikme Uzunluğu	ADF (trendli)
LTEFE	11	-1.5556
DLTEFE	10	-5.3733
LUSD	2	-0.9057
DLUSD	1	-15.5576
*a=0.01 anlamlılık düzeyinde birim kök içermiyor
L: Logaritma, D:Birinci sıra fark
Perron testi için l=0.63@0.6 olup a=0.01 düzeyinde kritik değer –4.45 dir

Grafik 1: Değişkenlerin Zamana Göre Eğilimleri

3. Modellerin Tanımlanması

Çalışmada kullanılan modelleri dört katogoride toplamak mümkündür. Bunlar:

(i) Durağan ve durağan olmayan vektör otoregressif modeller

(ii) Durağan ARMA modeli (Box-Jenkins metodolojisi)

(iii) Durağan ve durağan olmayan yapay sinir ağları (Artificial Neural Network)

(iv) Doğrusal olmayan modeller

3.1. Vektör Otoregressif Modeller

VAR modelinin en iyi kullanımının öngörü olduğu şeklindeki görüşler oldukça yaygındır. Bunun nedeni VAR modelinde dışsal değişken olmadığından öngörü periyodu için dışsal değişkenler hakkında herhangi bir varsayıma gerek olmamasıdır. VAR model öngörüleri, tüm değişkenlerin gelecekteki davranışının örnek periyodundaki ile aynı kalacağı örtülü varsayımı üzerine tesis edilmektedir. Son yıllarda yapılan bir çok çalışma, yapısal ekonometrik ve VAR model öngörü performanslarını karşılaştırmakta ve ayrıca ilgili zaman serisi verilerinin durağan ve durağan olmamasının VAR model öngörüleri üzerindeki etkisini araştırmaktadır (Bkz. McNees,1986; Lupoletti ve Webb,1986; Webb,1995).

Durağan Olmayan Vektör Otoregressif (NSVAR) Modeli

Durağan olmayan zaman serileri LTEFE ve LUSD arasındaki dinamik ilişkide gecikme yapısı maksimum gecikme uzunluğu 12 olmak üzere model seçim kriterlerinden Akaike bilgi kriteri (AIC) ve Shwarz kriteri (SC) kullanılarak belirlenmiştir. Bu kriterler için elde edilen sonuçlar Tablo 2 verilmiştir. Gerek AIC gerek SC uygun gecikme uzunluğunu 2 olarak tahmin etmiştir. O halde, NSVAR modeli aşağıdaki gibi olacaktır.

Tablo 2: NSVAR Modeli İçin Gecikme Uzunluğunun Belirlenmesi
Lag	AIC	SC
1	-8.5013	-8.4124
2	-8.8103	-8.6617
3	-8.7839	-8.5753
4	-8.7490	-8.4799
5	-8.7162	-8.3864
6	-8.7003	-8.3092
7	-8.6841	-8.2315
8	-8.6512	-8.1366
9	-8.6340	-8.0571
10	-8.6127	-7.9731
11	-8.6115	-7.9087
12	-8.6302	-7.8638

Durağan Vektör Otoregressif (SVAR) Modeli

Durağan zaman serileri DLTEFE ve DLUSD arasındaki dinamik ilişkide de gecikme yapısı AIC ve SC kullanılarak belirlenmiştir. Elde edilen sonuçlar Tablo 3 verilmiştir. AIC ve SC kriterlerinin her ikisi de uygun gecikme uzunluğunu 1 olarak tahmin etmiştir. Bu durumda, SVAR modeli aşağıdaki gibi olacaktır.

Tablo 3: SVAR Modeli İçin Gecikme Uzunluğunun Belirlenmesi
Lag	AIC	SC
1	-8.8052	-8.7161
2	-8.7858	-8.6368
3	-8.7499	-8.5406
4	-8.7155	-8.4456
5	-8.7057	-8.3748
6	-8.6862	-8.2939
7	-8.6538	-8.1997
8	-8.6341	-8.1179
9	-8.6119	-8.0331
10	-8.6045	-7.9628
11	-8.6171	-7.9120
12	-8.6773	-7.9085

3.2. Durağan ARMA Modeli (Box-Jenkins Metodoloji)

Box-Jenkins metodolojide, durağan zaman serisi DLTEFE nin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları incelenerek verilere uygun model belirlenmiştir. DLTEFE değişkeni için otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının grafikleri aşağıda verilmiştir. Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun gecikme 1’den sonra sıfır olması ve otokorelasyon fonksiyonunun da gecikme 1’den sonra sıfır olup hızla azalan bir eğilime sahip olması, geçici uygun modelin AR(1) veya ARMA(1,1) olabileceğine işaret etmiştir. Bu iki modelden AR(1) modeli için yapılan Box-Ljung Q-testi sonuçları artıkların otokorelasyonlu olmadığı bulgusunu vermiştir. Ayrıca, bu modelin AIC değeri daha küçük olduğundan uygun modelin AR(1) olduğu kararına varılmıştır:

3.3. Yapay Sinir Ağları

Yapay sinir ağları (YSA), özellikle konuşma, görüntü tanıma, karar verme, öğrenme ve kontrol gibi işlemlerin beyinde nöron adı verilen sinir hücreleri tarafından nasıl gerçekleştirildiğini açıklamak için geliştirilen doğrusal olmayan modellerdir. Yapay sinir ağları, genelleştirilmiş doğrusal modeller, polinomial regresyon, parametrik olmayan regresyon ve diskriminant analizi gibi istatistiksel tekniklerle benzerlik göstermektedir. Yapay sinir ağları, basit olarak girdi (X), ağırlıklar (w), sapma (θ), çıktı (Y) birimlerinden oluşur. Nöronlar ise bu birimleri bir araya getiren merkezlerdir (Hill ve diğerleri, 1994). Girdi vektörü (T), girdi ile ağırlıkların birbiri ile çarpılması ve bu çarpıma sabit bir sapma değerinin eklenmesiyle elde edilir.

Girdi vektörüne sigmoid lojistik fonksiyon dönüşümü yapılarak çıktı vektörü elde edilir. Bu dönüşüm nöronlarda gerçekleşir ve lojistik dönüşüm fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

Yapay sinir ağlarında, parametre (ağırlıklar) tahminleri ve sapmaların düzeltilmesi öğrenme (learning) mekanizması içinde gerçekleştirilir. Parametrelerin sürekli güncellenmesi ise hedef çıktı (target output) ile tahmin edilen çıktı arasındaki farkın (hatanın) karelerinin minimize edilmesi yoluyla yapılır. Minimum hatayı veren uygun parametreler elde edilinceye kadar iterasyon devam eder.

Diğer yandan, YSA’da çıktı vektörü q tane dönüşüm nöronu için şu şekilde ifade edilebilir:

Burada çıktı vektörü, doğrusal olmayan dönüşüm fonksiyonu ve girdi vektörü ve ise her bir dönüşüme karşılık gelen parametre vektörüdür. Yapay Sinir Ağlarının çalışma mekanizması aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Ağırlıkların Düzeltilmesi

Hatalar

.

Girdiler

Şekil 1: İleri Beslemeli (feedforward) Sinir Ağlarının Genel Yapısı.

Bu şekil aşağıda sırasıyla açıklanan adımları ifade etmektedir:

ADIM 1. Girdiler ve hedef çıktı sisteme girilir.

ADIM 2. YSA girdilerine rassal olarak ağırlıklar atanır.

ADIM 3. Girdiler, nöronlar tarafından doğrusal olmayan fonksiyon ile dönüştürülürler.

ADIM 4. Dönüştürülen verilere uygun parametreler belirlenir.

ADIM 5. Tahmin edilen çıktı ile hedeflenen çıktı arasındaki farkın karesi belirli bir minimum

değere ulaşıncaya kadar paremetreler yeniden belirlenir.

ADIM 6. Tahmin edilen çıktılar bu çıktılara karşılık gelen parametrelerle birlikte elde edilir.

İktisat teorisi genelde iktisadi değişkenler arasında doğrusal olmayan bir ilişkinin var olduğunu varsayar. İktisadi değişkenler üzerine yapılan öngörü çalışmalarında yapay sinir ağlarını da içeren doğrusal olmayan modellerin bazı değişkenler için doğrusal zaman serisi modellerine göre daha iyi öngörü performansına sahip oldukları gözlenmiştir (Bkz. Kohzadi ve diğerleri,1996; Hill ve diğerleri,1996). Diğer yandan, Swanson ve White (1997) bazı makroekonomik değişkenler için, geleneksel ekonometrik modeller ile YSA modellerinin öngörülerini karşılaştırmışlar ve değişkenler arasında doğrusal bir ilişki olmasına rağmen YSA modellerinin daha iyi öngörülere sahip oldukları sonucuna varmışlardır. Benzer bir karşılaştırma ise enflasyon oranı için Moshiri ve Cameron (2000) tarafından gerçekleştirilmiş ve YSA modellerinden göreceli olarak daha iyi öngörüler elde edilmiştir.

Doğrusal ve doğrusal olmayan zaman serisi modelleri çerçevesinde , durağanlığın öngörü performansına etkisi üzerine öngörü literatüründe sınırlı sayıda çalışma bulunmaktadır. Bu durum dikkate alınarak çalışmada YSA modelleri durağan ve durağn olmayan olarak ikiye ayrılmıştır.

Durağan Olmayan Zaman Serileri İçin Yapay Sinir Ağı

Uygulama aşamasında durağan olmayan zaman serileri için oluşturulan Yapay Sinir Ağları modeli aşağıdaki şekilde verilmiştir.

Girdiler Nöronlar I (10 Birim) Nöronlar II (10 Birim) Çıktı

Şekil 2: Durağan Olmayan İleri Beslemeli Yapay Sinir Ağları Yapısı

Yukarıdaki YSA yapısının matematiksel formu ise aşağıdaki gibi olacaktır.

Burada girdi vektörüdür. Ayrıca, herbir nöron seti 10 nöron içermektedir. Doğrusal olmayan dönüşümler ise sigmoid fonksiyonu () ile gerçekleştirilmiştir.

Durağan Zaman Serileri İçin Yapay Sinir Ağı

Değişkenlerin durağan olarak sisteme girildiği YSA modelinin yapısı Şekil.3 de gösterilmiştir.

Girdiler Nöronlar I Nöronlar II Nöronlar III Çıktı

(10 Birim) (10 Birim) (5 Birim)

Şekil 3: Durağan İleri Beslemeli Yapay Sinir Ağları Yapısı

Matematiksel olarak ise şu şekilde ifade edilebilir:

girdi vektörüdür. Burada, durağan olmayan zaman serilerinden farklı olarak 3 tane nöron seti bulunmakta ve ilk iki set 10 nöron içerirken, sonuncu set 5 nöron içermektedir.

3.4. Doğrusal Olmayan Modeller

Doğrusal olmayan modeller, verilere uygun modelleme yöntemleri kullanılarak belirlenmiştir. Grafik 1. den de görüldüğü gibi TEFE ve USD değişkenlerinin zamana göre genel eğilimleri, azalan oranlarda sürekli artış gösteren bir yapıya sahip üstel büyüme eğrilerine uygundur. Bu nedenle, dokuz farklı doğrusal olmayan model arasından öngörü performansına göre en iyi sonuç veren dört matematiksel kalıp dikkate alınmıştır. Bu modellerin parametrelerine göre doğrusal olmaması nedeni ile parametrelerin tahmininde doğrusal olmayan en küçük kareler yöntemi kullanılmıştır (Bkz. Hannan,1971; Gallant,1987; Aksoy, 1998). Bu modeller aşağıdaki gibidir.

Model 1

Model 2

Model 2 tahmin sonuçları elde edildiğinde Durbin-Watson (DW) istatistiğine göre artıklar arasında yüksek derecede otokorelasyon tespit edilmiştir. Artıkların otokorelasyon fonksiyonu incelendiğinde ilk iki gecikmeden sonra otokorelasyon katsayılarının hızlı bir şekilde sıfıra yaklaştıkları görülmüştür. Hata teriminin ikinci dereceden otoregressif bir yapıya sahip olduğu varsayılarak model aşağıdaki formda ifade edilmiştir.

Burada a₄ ve a₅ kısmi otoregressif katsayılardır.

Model 3

Model 4

Model 4 tahmin sonuçlarında artıklar incelendiğinde artıkların ikinci dereceden otoregressif yapıya sahip olduğu görülmüştür. Böylece, tahmin edilecek model

olarak ifade edilmiştir. Burada a₃ ve a₄ kısmi otoregressif katsayılardır.

4. Modellerin Öngörü Performansları

Modellerin öngörü başarıları karekök ortalama hata kareler (RMSE) kriteri kullanılarak dört dönem sonrası periyoda kadar araştırılmıştır. Bu kriterin hesaplanmasında dönem dışı periyod olarak 1999.Ocak-2001.Haziran dönemleri alınmıştır. Her model için dönem dışı öngörülerin hesaplanmasında, en son veri ilave edilerek regresyonlar tekrarlanmıştır. Ayrıca, RMSE kriterinin hesaplanmasında öngörülerin logaritmik birinci sıra farkları kullanılmıştır. Böylece, değişkenlerin farklı düzeylerinde tanımlanan modellerin öngörülerini RMSE kriterine göre karşılaştırmak mümkün olmaktadır. Karekök ortalama hata kareler kriterine ilişkin sonuçlar Tablo.4’de verilmiştir.

Tablo 4 : RMSE Kriterine Göre Modellerin Öngörü Performansı
	Öngörü Periyodu
Modeller	1	2	3	4
NSVAR	0.021965	0.030107	0.031113	0.031571
SVAR	0.020158	0.027677	0.028610	0.028814
AR(1)	0.028343	0.037011	0.039036	0.040553
Durağan Olmayan ANN	0.018211	0.017985	0.020184	0.05156
Durağan ANN	0.033489	0.049699	0.024925	0.028424
Doğrusal Olmayan Model 1	0.042711	0.079028	0.055172	0.043832
Doğrusal Olmayan Model 2	0.026457	0.055865	0.058905	0.043401
Doğrusal Olmayan Model 3	0.022571	0.043655	0.040720	0.031573
Doğrusal Olmayan Model 4	0.030607	0.043720	0.035873	0.042575

Tablo 4 incelendiğinde, ilk üç öngörü periyodu için durağan olmayan ANN, dördüncü öngörü periyodu için de durağan ANN modelinin daha iyi sonuçlar verdiği görülmüştür. Bu durum, enflasyon öngörüsünde “yapay sinir ağı” yaklaşımının daha iyi olduğuna işaret etmektedir. Ayrıca, durağan ve durağan olmayan verilerle gerçekleştirilen VAR yaklaşımında durağan VAR model öngörülerinin daha iyi sonuçlar verdiği görülmüştür. Doğrusal olmayan modeller arasında ise en iyi öngörü performansına sahip olan matematiksel form Model.3 olarak belirlenmiştir. Buna karşın, Tablo.5 de verilen “ortalama hata (ME)” değerleri bazı modellerin yukarı bazı modellerin ise aşağı doğru sapmalı öngörüler verdiğini göstermektedir. Bu sonuçlar, farklı model öngörülerinin birleştirilmesi vasıtasıyla enflasyon öngörü performansının arttırılabileceğine dair bir kanıt olarak değerlendirilebilir.

Tablo 5 : ME Kriterine Göre Sonuçlar
	Öngörü Periyodu
MODELLER	1	2	3	4
NSVAR	0.025498	0.058336	0.096748	0.137411
SVAR	0.032821	-0.000570	0.000692	0.000604
AR(1)	0.016284	0.044537	0.080042	0.119340
Durağan Olmayan ANN	0.033333	0.001038	0.000349	0.001775
Durağan ANN	0.008535	-0.003509	0.005081	0.001697
Doğrusal Olmayan Model 1	-0.000749	-0.010517	0.000956	0.008641
Doğrusal Olmayan Model 2	-0.002875	-0.003874	0.000239	0.006232
Doğrusal Olmayan Model 3	-0.000863	-0.003588	0.000561	0.005884
Doğrusal Olmayan Model 4	0.000615	-0.002348	0.000088	0.000638

5. Öngörülerin Birleştirilmesi

Alternatif model öngörülerinin birleştirilmesi yöntemiyle öngörü performansı arttırılabilmektedir (Granger,1996, 2000). Bu çalışmada kullanılan ilk öngörü birleştirme yöntemi, farklı model öngörülerinin ağırlıklı ortalamanın alınmasıdır. Bu yaklaşım, öngörülerin birleştirilmesinde kullanılan ağırlıkların sabit olması nedeniyle sabit ağırlıklı yaklaşım olarak ifade edilmiştir.

P₁ : Birinci modelin öngörü değerlerini, P₂ : İkinci modelin öngörü değerlerini ve A gerçekleşen değerleri temsil etsin. Bu durumda, A^* : Ağırlıklı ortalama öngörüleri:

olacaktır. Burada w ağırlıklardır. w'nin tahmini ise aşağıdaki formülle hesaplanır:

Öngörülerin birleştirilmesinde kullanılan ikinci yaklaşım, öngörü hatalarının açıklayıcı değişken olarak kullanıldığı ve katsayıların değişimini de dikkate alan regresyon yaklaşımıdır. Bu yaklaşım, katsayıların değişmesi nedeniyle değişen ağırlıklar olarak ifade edilmiştir.

Burada,

Çalışmada ele alınan modeller arasında bir dönem sonraki öngörü performansı daha yüksek olan durağan olmayan ANN, NSVAR ve SVAR öngörüleri yukarıda açıklanan iki yaklaşım kullanılarak birleştirilmiştir. Bu birleştirme işlemi sonucunda elde edilen sonuçlar Tablo.6’da verilmiştir.

Elde edilen bulgular, birleştirme işlemi sonucunda RMSE kriterine göre öngörü başarısının arttığını göstermiştir. Çalışmada yer alan alternatif yaklaşım ve modeller içerisinde enflasyon öngörüsü başarısı en yüksek olanı “regresyon yaklaşımının kullanıldığı durağan olmayan ANN ve NSVAR” öngörülerinin birleştirilmesi ile elde edilmiştir.

Tablo 6. Öngörülerin Birleştirilmesinden Elde Edilen RMSE
Modeller	Sabit Ağırlıklı	Değişen Ağırlıklı
Durağan Olmayan ANN ve SVAR	0.019098	0.015158
Durağan Olmayan ANN ve NSVAR	0.021036	0.014734
NSVAR-SVAR	0.021903	0.022389

6. Sonuç

Araştırmanın ampirik bulgularından elde edilen sonuçlar maddeler halinde aşağıdaki gibi özetlenebilir:

• Çalışmada kullanılan modeller arasında enflasyon öngörüsü performansı RMSE kriterine göre en iyi olan “durağan olmayan ANN” modelidir.
• Durağan olmayan ANN ve NSVAR öngörülerinin birleştirilmesi yaklaşımı bir dönem sonraki enflasyon öngörü performansını arttırmıştır. Bir dönem sonraki enflasyon öngörü performansı en yüksek olan modele (Durağan olmayan ANN) göre “durağan olmayan ANN ve NSVAR” öngörülerinin değişen ağırlıklı regresyon yaklaşımı ile birleştirilmesi, RMSE değerinde %23.6’lık bir azalmaya neden olmuştur.
• Öngörülerin birleştirilmesinde sabit ağırlıkların kullanıldığı duruma kıyasla regresyon yaklaşımı (değişen ağırlıklar) daha iyi sonuç vermiştir.
• Durağan olmayan zaman serileri ile öngörü daha başarılı sonuçlar vermiştir.
• Doğrusal olmayan (ANN) ve doğrusal (VAR) model öngörülerinin birleştirilmesi öngörü performansını arttırmıştır. Bu durum, doğrusal ve doğrusal olmayan modeller arasında bir seçim yerine, iki yaklaşımından elde edilen öngörülerin birleştirilmesinin daha iyi sonuçlar verebileceğine işaret etmektedir.

KAYNAKÇA

AKSOY, S., (1996), Otokorelasyonlu Hata Terimli Doğrusal Olmayan Regresyon Modellerinde Parametre Tahmini, (Basılmamış Doktora Tezi), G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.

ARINO, M. ve P.H. Franses, (2000), “ Forecasting the levels of Vector Autoregressive Log-Transformed Time Series”, International Journal of Forecasting, Vol.16, 111-116.

BIDARKOTA, P.V., (1998), “The Comparative Forecast Performance Univariate and Multivariate Models: An Application to Real Interest Rate Forecasting”, International Journal of Forecasting, Vol.14, 457-468.

GALLANT, A. R., (1987), Nonlinear Statistical Models, Wiley: New York

GONZALEZ P. ve P. MORAL, (1995), “An Analysis of International Tourism Demand in Spain”, International Journal of Forecasting. Vol.15, 233-251.

HANNAN, E. J., (1971), “Nonlinear Time Series Regression”, Journal of Applied Probability, Vol 8, 767-780

CAMPBELL, J.Y. ve P. PERRON, (1991), “Pitfall and Opportunities: What Macroeconomists Should Know About Unit Roots”, In NBER Macroeconomics Annual 199 1, Edited by O.J. Blanchard ve S. Fischer, 144-201, Cambridge.

DICKEY, D.A. ve W.A. FULLER, (1981), “Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root”, Econometrica, Vol.49, 1057-1072

GRANGER, C.W.J., (1996), “Can We Improve the Perceived Quality of Economic Forecasts”, Journal of Applied Econometrics,Vol.11,455-473.

GRANGER, C.W.J, (2000), “ Thick Modelling and Forecasting”, METU Conference in Economics, Ankara, Turkey.

HILL, T., L. MARQUEZ, M. O’CONNOR ve W. REMUS, (1994), “Artificial Neural Network Models for Forecasting and Decision Making”, International Journal of Forecasting, Vol.10, 5-15.

KOHZADI, N. , M.S. BOYD, B.KERMANSHAHI ve I. KAASTRA, (1996), “A Comparison of Artificial Neural Network and Time Series Models for Forecasting Commodity Prices” Neurocomputing, Vol.10, 169-181.

LUPOLETTI, W.M. ve R.H WEBB, (1986) Defining and Improving the Accuracy of Macroeconomic Forecasts: Contributions from a VAR Model, Journal of Business, 59, pp. 263-285.

MCNEES, S. K., (1986), “Forecasting Accuracy of Alternative Techniques: A Comparison of US Macroeconomic Forecasts”, Journal of Business and Economic Statistics, Vol.4, 5-15.

MOSHIRI, S. Ve N.CAMERON, (2000) “Neural Network versus Econometric Models in Forecasting Inflation”, Journal of Forecasting, Vol .19, 201-217.

PERRON, P., (1989), “The Great Crash, The Oil Price Shock, and The Unit Root Hypothesis”, Econometrica, Vol.57, No.6, 1361-1401.

SWANSON, N. ve H. WHITE, (1997), “A Model Selection Approach to Real Time Macroeconomic Forecasting Using Linear Models and Artificial Neural Networks”, The Review of Economics and Statistics, Vol.1011, 540-550.

WEBB, R. H., (1995), “Forecasting of Inflation from VAR Models”, Journal of Forecasting, Vol.14, 267-285.

T.C. Merkez Bankası, İstatistiksel Veri Tabanı, <http: // www.tcmb.gov.tr/>