DOĞRUSAL VE DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERLE ÖNGÖRÜ: DURAĞAN VE DURAĞAN OLMAMANIN ETKİLERİ

Nuri UÇAR Nezir KÖSE Sezgin AKSOY

Bilkent Üniversitesi Gazi Üniversitesi Gazi Üniversitesi

Ekonomi Bölümü Ekonometri Bölümü Ekonometri Bölümü

Giriş

Son yıllarda yapılan öngörü çalışmaları (Bkz. Gonzalez ve Moral,1995; Bidarkota,1998; Arino ve Franses, 2000) göstermektedir ki doğrusal ve doğrusal olmayan modellerin öngörü performansları farklılaşmaktadır. Ayrıca, değişkenlerin zaman serisi özellikleri de (durağan-durağan olmama) öngörüler üzerinde etkili olmaktadır. Bu çalışmada, enflasyon öngörü performansı açısından doğrusal ve doğrusal olmayan modellerin karşılaştırılması, değişkenlerin durağan ve durağan olmamasının etkileri ve farklı model öngörülerinin birleştirilmesinin öngörü başarısına katkısı araştırılmıştır.

Çalışmanın organizasyonu yukarıda belirtilen hedefler çerçevesinde şu şekilde planlanmıştır. İkinci bölümde, çalışmada yer alan değişkenlere ait zaman serisi verilerinin özellikleri analiz edilmiştir. Üçüncü bölümde, enflasyon öngörüsünde kullanılan modeller:

(i) Durağan ve durağan olmayan verilerle vektör otoregressif modeller

(ii) Durağan ARMA modeli (Box-Jenkins metodolojisi)

(iii) Durağan ve durağan olmayan verilerle yapay sinir ağları (Artificial Neural Network)

(iv) Durağan olmayan verilerle doğrusal olmayan modeller

başlıkları altında ele alınmıştır. Değişkenlerin düzeydeki değerleri ile ifade edilen doğrusal olmayan modeller için denenen matematiksel formlardan dört tanesinin uygun olduğu sonucu elde edilmiştir. Böylece, enflasyon öngörüsünde kullanılan modellerin sayısı dokuz ile sınırlandırılmıştır. Dördüncü bölümde ise öngörü periyodu dört olmak üzere öngörü başarısı en yüksek model “karekök ortalama hata kare (RMSE)” kriterine göre belirlenmiştir. Beşinci bölüm, öngörü başarısı yüksek olan modellerin birleştirilmesi yöntemiyle, öngörü performansının arttırılmasına yönelik bilgileri içermektedir. Çalışma, elde edilen bulguların değerlendirilmesi ile sona ermektedir.

Verilerin Zaman Serisi Özellikleri

Çalışmada, enflasyonun göstergesi olarak toptan eşya fiyat endeksi ve açıklayıcı değişken olarak da döviz kuru (TL/$) alınmıştır. Bu değişkenlere ilişkin veri seti 1982.Ocak ve 2001.Haziran dönemlerini kapsayan aylık gözlemlerden oluşmaktadır. Değişkenlerin kodları aşağıdaki gibidir.

TEFE: Toptan Eşya Fiyat Endeksi (1987=100)

USD : Döviz Kuru (TL/$)

Çalışma kapsamında yer alan değişkenlerin zamana göre eğilimleri, düzey, logaritmik dönüşüm ve logaritmik birinci sıra fark şeklinde Grafik 1. de verilmiştir. Değişkenlerin düzeydeki eğilimi üssel büyüme şeklindedir. Logaritmik dönüşüm vasıtasıyla doğrusal trend içeren bir eğilim elde edilmiştir. Logaritmik birinci sıra fark serisindeki eğilim durağan bir yapıya işaret etmektedir. Ayrıca, 1994. Nisan krizinin neden olduğu yapısal kırılma da net bir şekilde gözlenmiştir.

Değişkenlerin durağanlığı 1994 yılı Nisan ayında gözlenen kırılma nedeniyle Perron (1989) birim kök testi ile araştırılmıştır. Perron birim kök testi genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) regresyon eşitliğine 1994. Nisan ayında 1, diğer dönemlerde sıfır değerini alan kukla değişken ilave edilerek gerçekleştirilmiştir (Model A). Perron ADF eşitliği için uygun gecikme yapısı maksimum gecikme uzunluğu 12 olmak üzere Campbell-Perron (1991) tarafından önerilen yaklaşımla belirlenmiştir. Elde edilen bulgular Tablo.1 de verilmiştir. Perron ADF testi sonuçları, gerek TEFE gerek USD zaman serisinin logaritmik birinci sıra farkta birim kök içermediğini diğer bir ifadeyle durağan olduğunu göstermiştir.

Tablo.1: Perron Model (A) ADF Testi Sonuçları
Değişken Kodu	Gecikme Uzunluğu	ADF (trendli)
LTEFE	11	-1.5556
DLTEFE	10	-5.3733
LUSD	2	-0.9057
DLUSD	1	-15.5576
*a=0.01 anlamlılık düzeyinde birim kök içermiyor
L: Logaritma, D:Birinci sıra fark
Perron testi için l=0.63@0.6 olup a=0.01 düzeyinde kritik değer –4.45 dir

Grafik 1: Değişkenlerin Zamana Göre Eğilimleri

Modellerin Tanımlanması

Çalışmada kullanılan modelleri dört katogoride toplamak mümkündür. Bunlar:

(i) Durağan ve durağan olmayan vektör otoregressif modeller

(ii) Durağan ARMA modeli (Box-Jenkins metodolojisi)

(iii) Durağan ve durağan olmayan yapay sinir ağları (Artificial Neural Network)

(iv) Doğrusal olmayan modeller

3.1. Vektör Otoregressif Modeller

VAR modelinin en iyi kullanımının öngörü olduğu şeklindeki görüşler oldukça yaygındır. Bunun nedeni VAR modelinde dışsal değişken olmadığından öngörü periyodu için dışsal değişkenler hakkında herhangi bir varsayıma gerek olmamasıdır. VAR model öngörüleri, tüm değişkenlerin gelecekteki davranışının örnek periyodundaki ile aynı kalacağı örtülü varsayımı üzerine tesis edilmektedir. Son yıllarda yapılan bir çok çalışma, yapısal ekonometrik ve VAR model öngörü performanslarını karşılaştırmakta ve ayrıca ilgili zaman serisi verilerinin durağan ve durağan olmamasının VAR model öngörüleri üzerindeki etkisini araştırmaktadır (Bkz. McNees,1986; Lupoletti ve Webb,1986; Webb,1995).

Durağan Olmayan Vektör Otoregressif (NSVAR) Modeli

Durağan olmayan zaman serileri LTEFE ve LUSD arasındaki dinamik ilişkide gecikme yapısı maksimum gecikme uzunluğu 12 olmak üzere model seçim kriterlerinden Akaike bilgi kriteri (AIC) ve Shwarz kriteri (SC) kullanılarak belirlenmiştir. Bu kriterler için elde edilen sonuçlar Tablo 2 verilmiştir. Gerek AIC gerek SC uygun gecikme uzunluğunu 2 olarak tahmin etmiştir. O halde, NSVAR modeli aşağıdaki gibi olacaktır.

Tablo 2: NSVAR Modeli İçin Gecikme Uzunluğunun Belirlenmesi
Lag	AIC	SC
1	-8.5013	-8.4124
2	*-8.8103*	*-8.6617*
3	-8.7839	-8.5753
4	-8.7490	-8.4799
5	-8.7162	-8.3864
6	-8.7003	-8.3092
7	-8.6841	-8.2315
8	-8.6512	-8.1366
9	-8.6340	-8.0571
10	-8.6127	-7.9731
11	-8.6115	-7.9087
12	-8.6302	-7.8638

Durağan Vektör Otoregressif (SVAR) Modeli

Durağan zaman serileri DLTEFE ve DLUSD arasındaki dinamik ilişkide de gecikme yapısı AIC ve SC kullanılarak belirlenmiştir. Elde edilen sonuçlar Tablo 3 verilmiştir. AIC ve SC kriterlerinin her ikisi de uygun gecikme uzunluğunu 1 olarak tahmin etmiştir. Bu durumda, SVAR modeli aşağıdaki gibi olacaktır.

Tablo 3: SVAR Modeli İçin Gecikme Uzunluğunun Belirlenmesi
Lag	AIC	SC
1	*-8.8052*	*-8.7161*
2	-8.7858	-8.6368
3	-8.7499	-8.5406
4	-8.7155	-8.4456
5	-8.7057	-8.3748
6	-8.6862	-8.2939
7	-8.6538	-8.1997
8	-8.6341	-8.1179
9	-8.6119	-8.0331
10	-8.6045	-7.9628
11	-8.6171	-7.9120
12	-8.6773	-7.9085

3.2. Durağan ARMA Modeli (Box-Jenkins Metodoloji)

Box-Jenkins metodolojide, durağan zaman serisi DLTEFE nin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları incelenerek verilere uygun model belirlenmiştir. DLTEFE değişkeni için otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının grafikleri aşağıda verilmiştir. Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun gecikme 1’den sonra sıfır olması ve otokorelasyon fonksiyonunun da gecikme 1’den sonra sıfır olup hızla azalan bir eğilime sahip olması, geçici uygun modelin AR(1) veya ARMA(1,1) olabileceğine işaret etmiştir. Bu iki modelden AR(1) modeli için yapılan Box-Ljung Q-testi sonuçları artıkların otokorelasyonlu olmadığı bulgusunu vermiştir. Ayrıca, bu modelin AIC değeri daha küçük olduğundan uygun modelin AR(1) olduğu kararına varılmıştır:

3.3. Yapay Sinir Ağları

Yapay sinir ağları (YSA), özellikle konuşma, görüntü tanıma, karar verme, öğrenme ve kontrol gibi işlemlerin beyinde nöron adı verilen sinir hücreleri tarafından nasıl gerçekleştirildiğini açıklamak için geliştirilen doğrusal olmayan modellerdir. Yapay sinir ağları, genelleştirilmiş doğrusal modeller, polinomial regresyon, parametrik olmayan regresyon ve diskriminant analizi gibi istatistiksel tekniklerle benzerlik göstermektedir. Yapay sinir ağları, basit olarak girdi (X), ağırlıklar (w), sapma (θ), çıktı (Y) birimlerinden oluşur. Nöronlar ise bu birimleri bir araya getiren merkezlerdir (Hill ve diğerleri, 1994). Girdi vektörü (T), girdi ile ağırlıkların birbiri ile çarpılması ve bu çarpıma sabit bir sapma değerinin eklenmesiyle elde edilir.

Girdi vektörüne sigmoid lojistik fonksiyon dönüşümü yapılarak çıktı vektörü elde edilir. Bu dönüşüm nöronlarda gerçekleşir ve lojistik dönüşüm fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

Yapay sinir ağlarında, parametre (ağırlıklar) tahminleri ve sapmaların düzeltilmesi öğrenme (learning) mekanizması içinde gerçekleştirilir. Parametrelerin sürekli güncellenmesi ise hedef çıktı (target output) ile tahmin edilen çıktı arasındaki farkın (hatanın) karelerinin minimize edilmesi yoluyla yapılır. Minimum hatayı veren uygun parametreler elde edilinceye kadar iterasyon devam eder.

Diğer yandan, YSA’da çıktı vektörü q tane dönüşüm nöronu için şu şekilde ifade edilebilir:

Burada çıktı vektörü, doğrusal olmayan dönüşüm fonksiyonu ve girdi vektörü ve ise her bir dönüşüme karşılık gelen parametre vektörüdür. Yapay Sinir Ağlarının çalışma mekanizması aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Ağırlıkların Düzeltilmesi

Oval: X1

Oval: Nöron
Seti I

Oval: X2 Oval: Tahmin
Edilen
Çıktı Oval: Hedef
Çıktı

Hatalar

Oval: Xp .

Girdiler

Şekil 1: İleri Beslemeli (feedforward) Sinir Ağlarının Genel Yapısı.

Bu şekil aşağıda sırasıyla açıklanan adımları ifade etmektedir:

ADIM 1. Girdiler ve hedef çıktı sisteme girilir.

ADIM 2. YSA girdilerine rassal olarak ağırlıklar atanır.

ADIM 3. Girdiler, nöronlar tarafından doğrusal olmayan fonksiyon ile dönüştürülürler.

ADIM 4. Dönüştürülen verilere uygun parametreler belirlenir.

ADIM 5. Tahmin edilen çıktı ile hedeflenen çıktı arasındaki farkın karesi belirli bir minimum

değere ulaşıncaya kadar paremetreler yeniden belirlenir.

ADIM 6. Tahmin edilen çıktılar bu çıktılara karşılık gelen parametrelerle birlikte elde edilir.

İktisat teorisi genelde iktisadi değişkenler arasında doğrusal olmayan bir ilişkinin var olduğunu varsayar. İktisadi değişkenler üzerine yapılan öngörü çalışmalarında yapay sinir ağlarını da içeren doğrusal olmayan modellerin bazı değişkenler için doğrusal zaman serisi modellerine göre daha iyi öngörü performansına sahip oldukları gözlenmiştir (Bkz. Kohzadi ve diğerleri,1996; Hill ve diğerleri,1996). Diğer yandan, Swanson ve White (1997) bazı makroekonomik değişkenler için, geleneksel ekonometrik modeller ile YSA modellerinin öngörülerini karşılaştırmışlar ve değişkenler arasında doğrusal bir ilişki olmasına rağmen YSA modellerinin daha iyi öngörülere sahip oldukları sonucuna varmışlardır. Benzer bir karşılaştırma ise enflasyon oranı için Moshiri ve Cameron (2000) tarafından gerçekleştirilmiş ve YSA modellerinden göreceli olarak daha iyi öngörüler elde edilmiştir.

Doğrusal ve doğrusal olmayan zaman serisi modelleri çerçevesinde , durağanlığın öngörü performansına etkisi üzerine öngörü literatüründe sınırlı sayıda çalışma bulunmaktadır. Bu durum dikkate alınarak çalışmada YSA modelleri durağan ve durağn olmayan olarak ikiye ayrılmıştır.

Durağan Olmayan Zaman Serileri İçin Yapay Sinir Ağı

Uygulama aşamasında durağan olmayan zaman serileri için oluşturulan Yapay Sinir Ağları modeli aşağıdaki şekilde verilmiştir.

Oval: LTEFEt-2 Oval: LTEFEt-1