DENGELİ EKSİK BÖLÜK TASARIMLARINDA EN UYGUN İŞLEYİM ETKİSİ KESTİRİCİSİNİN BELİRLENMESİ VE BİR UYGULAMA
Fen-Edebiyat
Fakültesi
İstatistik
Bölümü
Bu çalışmada eksik bölük tasarımları içerisinde ayrı bir önemi olan dengeli eksik bölük tasarımları ele alınmıştır. Dengeli eksik bölük tasarımlarında işleyimlerin bölükler-içi, bölükler-arası kestiricisi ve bu kestiricilerden yararlanarak hesaplanabilen bileşik kestirici irdelenmektedir. İşleyimlerin söz konusu kestiricileri en küçük kareler yöntemi ile bulunmuştur. Çalışmada dengeli eksik bölük tasarımlarında en uygun işleyim etkisi kestiricisinin belirlenmesi amaçlanmıştır.
1. GİRİŞ
Dengeli Eksik Bölük
Tasarımları çok sayıda işleyimi küçük bölüklerde karşılaştırmak için kullanılır.
Sözkonusu tasarımlarda bütün işleyim karşılaştırmaları eş derecede önemlidir.
Bu nedenle her bölükte kullanılan işleyim çifti diğer bir işleyim çifti ile
eşit sayıda meydana gelir. Deney boyunca herhangi iki işleyimin birlikte eşit
sayıda göründüğü eksik bölük tasarımı, dengeli eksik bölük tasarımı olarak
adlandırılır.
Dengeli eksik bölük
tasarımlarında ve bu çalışmada
kullanılan parametreler aşağıdaki biçimdedir.
t: İşleyim sayısı
k: Her bir bölükte yer
alacak deney birimi sayısı
r: Her bir işleyimin
yineleme sayısı
b: Bölük sayısı
l: Herhangi iki işleyimin birlikte görünme sayısı ( l parametresi pozitif tam sayı olmak zorundadır.)
T: İşleyim kareler toplamı
B: Bölük kareler toplamı
G: Genel kareler toplamı
H: Hata kereler toplamı
İKO: İşleyim kareler
ortalaması
BKO: Bölük kareler
ortalaması
HKO: Hata kareler ortalaması
Qi: i. işleyim
için düzeltilmiş toplam
Dengeli eksik bölük tasarımlarında b,t,r,k ve l olmak üzere beş tane parametre kullanılır.
Sözkonusu parametreler birbirinden bağımsız değildir. Parametreler arasındaki
ilişkiler aşağıdaki biçimde verilebilir.
i)
bk=rt=N (Deneydeki toplam birim sayısı)
i)
(1)
ii)
b ³ t ( Fisher eşitsizliği)
Bir
deneyde bölük sayısı (b) ve işleyim sayısı (t) genellikle deneye başlamadan
önce bilinir. Ancak herbir bölükte yer alacak deney birimi sayısı olan k
değerinin seçimi keyfi olabilir. k değerleri aynı b, t, r, l parametreleri farklı olmak üzere veya t
değeri aynı b, k, r, l farklı olmak üzere bir çok dengeli eksik
bölük tasarımları elde edilebilir. Elde edilebilecek bu tasarımların hangisinin
etkin olduğunu belirlemek için bir ölçü kullanılır. Bu ölçüye etkinlik faktörü
denir. Ayrıca tasarımın, karşılaştırma yapılmaksızın ne kadar etkin olduğu bu
ölçüyle belirlenebilir. E etkinlik faktörünü göstermek üzere;
E=
(2)
formülü ile elde edilir.
Dengeli
eksik bölük tasarımlarında simetrik tasarımların özel bir önemi vardır.
Simetrik tasarımlar t=b ve r=k olan, yani bölük sayısı işleyim sayısına (ve
yineleme sayısı her bir bölükte uygulanan işleyim sayısına) eşit olan tasarımlardır.
Uygulamada yaygın olarak kullanılan dengeli eksik bölük tasarımlarıdır.
2.
Dengeli Eksik Bölükler
Tasarımı
Sözkonusu tasarımlarda işleyim etkisinin iki farklı kestiricisi elde edilir. Bunlar bölükler içindeki karşılaştırmalardan elde edilen bölükler-içi kestirici ile bölükler-arası karşılaştırmalardan elde edilen bölükler-arası kestiricilerdir.
Dengeli Eksik Bölükler Tasarımı’nda kullanılan model;
yij=m+ti+bj+eij dir.
yij= i. işleyimin j. bölükte
uygulandığında elde edilen gözlem
ti = i. işleyimin etkisi
bj= j. bölüğün etkisi
İşleyim
etkileri arasında anlamlı bir fark olup olmadığı, kestiricilerin
belirlenmesinde önemlidir. Bunun için sınanacak hipotez H0: ti=0 ve karşıt hipotez H1:
ti¹0 şeklinde belirtilir. Bölükler-içi analiz ve
bölükler-arası analiz teknikleri ile aynı hipotez test edilir. Bundan sonra
yapılması gereken tek değişkenli varyans analizidir. Bölükler-içi analiz
tekniği ile işleyim etkilerinin sınanmasında kullanılan varyans analizi tablosu
aşağıdaki gibidir.
Tablo1. Bölükler-içi analiz tekniği ile işleyim etkilerinin
sınanmasında kullanılan varyans analizi tablosu
|
Değişim kaynağı |
Kareler Toplamı |
Serbestlik Derecesi |
Kareler Ortalaması |
F0 |
|
İşleyimler (Düzeltilmiş) Bölükler Hata Toplam |
T= B= H=G-T-B G= |
t-1 b-1 N-t-b+1 N-1 |
İKO= BKO= HKO= |
F0= |
Kullanılan
F istatistiği F(t-1,N-t-b+1) dağılımına sahiptir. F0 değeri tablo
değeri ile karşılaştırılarak işleyim etkileri arasında anlamlı bir fark olup
olmadığı belirlenir.
İşleyim
etkisinin bölükler-içi kestiricisinin bulunmasında en küçük kareler
eşitliklerinden yararlanılır. En küçük kareler denklemleri aşağıdaki gibi
yazılır;
![]()
![]()
i=1,2,
........,t; j=1,2,..........,b (3)
yazılarak
bulunur. Sonraki
işlemlerde Yi. Eşitliğinde Y.j eşitliği kullanılarak
bölük etkileri yok edildikten sonra, işleyim etkilerinin kestiricisi olan
;
(i=1,2,.........,t) (4)
olarak elde edilir.
işleyim etkisinin
bölükler-içi kestiricisi olarak isimlendirilir.
İşleyim
etkilerinin sınanması amacıyla bölükler-içi ve bölükler-arası analizler
yapılabilir. Bazen sadece bölükler-içi analize ihtiyaç duyulurken bazı
durumlarda ise bölükler-arası analize de ihtiyaç duyulur. Bu belirlemenin
yapılabilmesi için bölükler-içi varyans ile bölükler-arası varyansın
hesaplanması gerekir. Bölükler-arası analizin gerekli olup olmadığı,
bölükler-arası varyansın bölükler-içi varyansa oranlanmasıyla belirlenir. Söz
konusu değer 1 değerinden oldukça büyük ise bölükler-arası analizin yapılmasına
karar verilir. Eğer söz konusu değer 1’e yakın değer alırsa bölükler-içi
analizle yetinilir. Bu durumda uygun işleyim etki kestiricisi, bölükler-içi
kestiricidir.
Eğer
bölükler-arası analiz gerekli görülürse işleyim etkileri bölükler-arası analiz
ile sınanır. Bunun için kullanılacak formüller varyans analizi tablosunda
verilmiştir.
Tablo2. Bölükler-arası analiz tekniği ile işleyim
etkilerinin sınanmasında kullanılan varyans analizi tablosu
|
Değişim kaynağı |
Kareler Toplamı |
Serbestlik Derecesi |
Kareler Ortalaması |
F0 |
|
İşleyimler Bölükler Hata Toplam |
T= B= H=G-T-B G= |
t-1 b-1 N-t-b+1 N-1 |
İKO= BKO= HKO= |
F0= |
Bundan
sonra bölükler-arası en küçük kareler kestiricisinin bulunmasına
geçilir.Bölükler-arası kestirici
en küçük kareler
fonksiyonu minimize edilerek bulunur. En küçük kareler normal denklemleri;
![]()
(i=1,2,...........t)
(5)
Burada
ve
bölükler-arası
kestiricileri göstermektedir.
ilk denklemde yerine
yazıldığında
=
bulunur. İkinci eşitlikte
=
ve
eşitlikleri yerlerine
yazılırsa;
(6)
bölükler-arası işleyim etkileri kestiricisi bulunmuş
olur.
Böylece işleyim etkisi
kestiricilerine ilişkin iki küme belirlenmiş oldu: bölükler-içi kestiriciler
kümesi olan
’lerin kümesi ve bölükler-arası kestiricilerin kümesi olan
’lerin kümesi. Herhangi bir i ve j değeri için Cov(
)=0 olmasından dolayı kestiricilere ilişkin söz konusu iki küme
birbirinden bağımsızdır.
Simetrik dengeli eksik bölük
tasarımlarında işleyimlerin bölükler-içi ve bölükler-arası kestiricileri
yardımıyla bileşik kestiricileri belirlenir. Bu iki kestirici kümesinin
birleştirilmesi ile tek bir kestirici kümesine ulaşılır. Aynı zamanda
işleyimlere ilişkin yansız, tutarlı ve minimum varyanslı kestiricinin elde
edilmesi amaçlandığı için, kestiricilerin birleştirilmesi ile bu özelliklere
sahip bileşik kestirici elde edilmektedir. Simetrik dengeli eksik bölük
tasarımlarında uygun işleyim etkisi
kestiricisi sözü edilen özelliklerinden dolayı bileşik kestiricidir. Ters
varyanslar tekniği kullanılarak bileşik kestirici elde edilebilir.
Birleşik kestiriciyi bulmak
için iki kestiricinin doğrusal bileşimi olan;
(7)
kullanılır.
Söz
konusu bileşik kestiriciyi elde etme tekniğinde yansız, minimum varyanslı
bileşik kestirici
katsayılarına
dayanarak, u1 ve u2 ağırlıkları
olmak üzere;
(8)
eşitlikleri yazılır.
En uygun ağırlıklar
kestirici varyansları
ile ters orantılıdır. Bu nedenle minimum varyanslı bileşik kestiriciyi elde
etmek için
eşitliğinde sırasıyla
, daha sonra da
değerleri yerine
yazılarak bileşik kestirici aşağıdaki gibi bulunur.
i=1,2,..........,t (9)
Bileşik kestirici için
verilen eşitlikten anlaşılacağı gibi
değerlerinin bulunması gerekir.
= HKO olur.
E(BKO (m ve t için düzeltilmiş))=
eşitliğinden (10)
bulunur. Bu da
için yansız bir
kestiricidir.
3.
Uygulama
Teorik
çalışmalarımızı desteklemek amacıyla, t=6, b=15, r=10, l=6 ve k=4 olan bir dengeli eksik bölük
tasarımından elde edilen aşağıdaki veriler kullanılmıştır.
|
Bölük |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|||||||||||||||||
|
İşleyimler |
1 |
60 |
62 |
|
61 |
64 |
|
69 |
63 |
|
67 |
63 |
|
66 |
61 |
|
||||||||||||||||
|
2 |
78 |
|
85 |
84 |
80 |
|
81 |
|
82 |
80 |
|
84 |
83 |
|
85 |
|||||||||||||||||
|
3 |
64 |
71 |
65 |
63 |
|
65 |
65 |
60 |
|
|
62 |
67 |
|
63 |
60 |
|||||||||||||||||
|
4 |
70 |
80 |
|
|
69 |
67 |
|
68 |
67 |
69 |
|
70 |
|
71 |
72 |
|||||||||||||||||
|
5 |
|
74 |
81 |
85 |
|
85 |
|
84 |
83 |
81 |
81 |
|
82 |
|
84 |
|||||||||||||||||
|
6 |
|
|
75 |
|
77 |
76 |
73 |
|
77 |
|
72 |
71 |
70 |
69 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tasarımın
etkinliği eşitlik 2’den yararlanılarak E=0,90 bulunmuştur.
|
|
|
|
|
|
|
|
-8,36 |
9,42 |
-9,06 |
-2,89 |
10,11 |
0,78 |
Bölükler-arası analizin
gerekliliği açısından varyanslaın oranına bakıldığında, oran 1’den küçük ve 1’e
yakın bir değerdir. Ancak karşılaştırma yapılabilmesi açısından hesaplandığında
bölükler-arası kestirimler aşağıdaki gibidir.
|
|
|
|
|
|
|
|
-13,05 |
12,95 |
-8,8 |
-4,3 |
10,7 |
2,7 |
Görüldüğü gibi söz konusu dengeli eksik bölük
tasarımında uygun işleyim etkisi kestirimleri
bölükler-içi kestirimlerdir. Varyansların oranı itibariyle de bölükler-arası
kestirimler hesaplanmayabilir.
Simetrik dengeli eksik bölük tasarımı uygulaması için
t=6, b=6, r=5, l=4 ve k=5 olan bir tasarımda
aşağıdaki veriler kullanılmıştır.
|
Bölük |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
İşleyimler |
1 |
43 |
45 |
48 |
40 |
44 |
|
|
2 |
45 |
49 |
52 |
44 |
|
60 |
|
|
3 |
47 |
50 |
55 |
|
43 |
58 |
|
|
4 |
42 |
45 |
|
43 |
46 |
55 |
|
|
5 |
46 |
|
47 |
45 |
43 |
50 |
|
|
6 |
|
50 |
55 |
46 |
47 |
60 |
|
Tasarımın etkinliği eşitlik 2’den yararlanılarak E=0,96
bulunmuştur. Bu da yüksek bir orandır.
|
|
|
|
|
|
|
|
-2,5 |
1,25 |
1,67 |
-1,29 |
-2,04 |
2,92 |
Bölükler-arası varyans, bölükler-içi varyansa oranlandığında 1’den
oldukça büyük (2,27) bir değer çıkmaktadır. Bu nedenle bölükler-arası analizin yapılması
gerekmektedir. Bölükler-arası kestirim değerleri de aşağıdaki gibidir.
|
|
|
|
|
|
|
|
-42,5 |
17,5 |
22,5 |
-16,5 |
1,5 |
17,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,22 |
-1,11 |
-1,49 |
1,15 |
1,87 |
-2,64 |
Simetrik
dengeli eksik bölük tasarımında uygun işleyim etkisi kestiricisi mutlak
kestirim değerlerine bakıldığında bileşik kestiricidir.
4.
Sonuç
Dengeli eksik bölük tasarımlarında işleyim etkisi kestirim değerleri bölükler-içi, bölükler-arası ve bileşik kestiricilere dayanarak hesaplanabilir. Ancak bölükler-içi analiz ile yetinildiği durumda uygun işleyim etkisi kestiricisi bölükler-içi kestiricidir. Bölükler-arası varyans bölükler-içi varyansa oranlanarak bölükler-içi analizin yeterli olup olmadığı, başka bir anlatımla bölükler-arası analizin yapılmasının gerekli olup olmadığı belirlenebilmektedir. Simetrik dengeli eksik bölük tasarımlarında uygun kestirici bölükler-içi ve bölükler-arası kestiriciye dayanarak belirlenen bileşik kestiricidir. Bileşik kestirici yansız, tutarlı ve minimum varyanslı bir kestiricidir..
Box, E.P.G. and Hunter, G.W. and Hunter, J.S., 1978, Statistics for experimentals an introduction to design, data analysis and model building, John Wiley and Sons Inc., New York, 653 p.
Cochran, W.G. and Cox, G.M., 1953, Experimental designs, John Wiley and Sons Inc., New York, 454 p.
Fisher, R.A. and Yates, F., 1957, Statistical tables for biological, agricultural and medical research, Hafner Publishing Company inc., New York, 97 p.
John, W.M.P., 1971, Statistical Design and Analysis of Experiments, The Macmillian Company, New York, 385 p.
John, W.M.P., 1980, Incomplete Block Designs, Marcel Decker Inc., New York, 101 p.
Kempthorne, O., 1952, The Design and Analysis of Experiment, John Wiley and Inc., New York.
Mendenhall, W., 1968, Introduction to Linear Models and The Design and Analysis of Experiments, Wadsworth Publishing Company Inc., California, 462 p.
Montgomary, D.C., 1991, Design and Analysis of Experiments, John Wiley and Sons Inc., New York, 528 p.
Raghavarao, D., 1971, Constructions and
Combinatorial Problems Design of
Experiments, Punjob Agricultural University Ludhana,
Indiana, 127p.
Rao, C.R., 1947, General Methods of Analysis
for Incomplete Block Designs, 47, 541-561.
Şen, H., 1997, Simetrik Dengeli Eksik Bölük
Tasarımlarında Uygun İşleyim Etkisi Kestiricisinin Belirlenmesi ve Bir
Uygulama, Doktora Tezi, 113p.