DENGELİ EKSİK BÖLÜK TASARIMLARINDA EN UYGUN İŞLEYİM ETKİSİ KESTİRİCİSİNİN BELİRLENMESİ VE BİR UYGULAMA

Yrd. Doç. Dr. Hülya Şen

Osmangazi Üniversitesi

Fen-Edebiyat Fakültesi

İstatistik Bölümü

ÖZET

Bu çalışmada eksik bölük tasarımları içerisinde ayrı bir önemi olan dengeli eksik bölük tasarımları ele alınmıştır. Dengeli eksik bölük tasarımlarında işleyimlerin bölükler-içi, bölükler-arası kestiricisi ve bu kestiricilerden yararlanarak hesaplanabilen bileşik kestirici irdelenmektedir. İşleyimlerin söz konusu kestiricileri en küçük kareler yöntemi ile bulunmuştur. Çalışmada dengeli eksik bölük tasarımlarında en uygun işleyim etkisi kestiricisinin belirlenmesi amaçlanmıştır.

1. GİRİŞ

Dengeli Eksik Bölük Tasarımları çok sayıda işleyimi küçük bölüklerde karşılaştırmak için kullanılır. Sözkonusu tasarımlarda bütün işleyim karşılaştırmaları eş derecede önemlidir. Bu nedenle her bölükte kullanılan işleyim çifti diğer bir işleyim çifti ile eşit sayıda meydana gelir. Deney boyunca herhangi iki işleyimin birlikte eşit sayıda göründüğü eksik bölük tasarımı, dengeli eksik bölük tasarımı olarak adlandırılır.

Dengeli eksik bölük tasarımlarında ve bu çalışmada kullanılan parametreler aşağıdaki biçimdedir.

t: İşleyim sayısı

k: Her bir bölükte yer alacak deney birimi sayısı

r: Her bir işleyimin yineleme sayısı

b: Bölük sayısı

l: Herhangi iki işleyimin birlikte görünme sayısı ( l parametresi pozitif tam sayı olmak zorundadır.)

T: İşleyim kareler toplamı

B: Bölük kareler toplamı

G: Genel kareler toplamı

H: Hata kereler toplamı

İKO: İşleyim kareler ortalaması

BKO: Bölük kareler ortalaması

HKO: Hata kareler ortalaması

Q_i: i. işleyim için düzeltilmiş toplam

Dengeli eksik bölük tasarımlarında b,t,r,k ve l olmak üzere beş tane parametre kullanılır. Sözkonusu parametreler birbirinden bağımsız değildir. Parametreler arasındaki ilişkiler aşağıdaki biçimde verilebilir.

i) bk=rt=N (Deneydeki toplam birim sayısı)

i) (1)

ii) b ³ t ( Fisher eşitsizliği)

Bir deneyde bölük sayısı (b) ve işleyim sayısı (t) genellikle deneye başlamadan önce bilinir. Ancak herbir bölükte yer alacak deney birimi sayısı olan k değerinin seçimi keyfi olabilir. k değerleri aynı b, t, r, l parametreleri farklı olmak üzere veya t değeri aynı b, k, r, l farklı olmak üzere bir çok dengeli eksik bölük tasarımları elde edilebilir. Elde edilebilecek bu tasarımların hangisinin etkin olduğunu belirlemek için bir ölçü kullanılır. Bu ölçüye etkinlik faktörü denir. Ayrıca tasarımın, karşılaştırma yapılmaksızın ne kadar etkin olduğu bu ölçüyle belirlenebilir. E etkinlik faktörünü göstermek üzere;

E= (2)

formülü ile elde edilir.

Dengeli eksik bölük tasarımlarında simetrik tasarımların özel bir önemi vardır. Simetrik tasarımlar t=b ve r=k olan, yani bölük sayısı işleyim sayısına (ve yineleme sayısı her bir bölükte uygulanan işleyim sayısına) eşit olan tasarımlardır. Uygulamada yaygın olarak kullanılan dengeli eksik bölük tasarımlarıdır.

2. Dengeli Eksik Bölükler Tasarımı

Sözkonusu tasarımlarda işleyim etkisinin iki farklı kestiricisi elde edilir. Bunlar bölükler içindeki karşılaştırmalardan elde edilen bölükler-içi kestirici ile bölükler-arası karşılaştırmalardan elde edilen bölükler-arası kestiricilerdir.

Dengeli Eksik Bölükler Tasarımı’nda kullanılan model;

y_ij=m+t_i+b_j+e_ij dir.

y_ij= i. işleyimin j. bölükte uygulandığında elde edilen gözlem

t_i = i. işleyimin etkisi

b_j= j. bölüğün etkisi

İşleyim etkileri arasında anlamlı bir fark olup olmadığı, kestiricilerin belirlenmesinde önemlidir. Bunun için sınanacak hipotez H₀: t_i=0 ve karşıt hipotez H₁: t_i¹0 şeklinde belirtilir. Bölükler-içi analiz ve bölükler-arası analiz teknikleri ile aynı hipotez test edilir. Bundan sonra yapılması gereken tek değişkenli varyans analizidir. Bölükler-içi analiz tekniği ile işleyim etkilerinin sınanmasında kullanılan varyans analizi tablosu aşağıdaki gibidir.

Tablo1. Bölükler-içi analiz tekniği ile işleyim etkilerinin sınanmasında kullanılan varyans analizi tablosu

Değişim kaynağı	Kareler Toplamı	Serbestlik Derecesi	Kareler Ortalaması	F0
İşleyimler (Düzeltilmiş) Bölükler Hata Toplam	T= B= H=G-T-B G=	t-1 b-1 N-t-b+1 N-1	İKO= BKO= HKO=	F0=

Kullanılan F istatistiği F(t-1,N-t-b+1) dağılımına sahiptir. F₀ değeri tablo değeri ile karşılaştırılarak işleyim etkileri arasında anlamlı bir fark olup olmadığı belirlenir.

İşleyim etkisinin bölükler-içi kestiricisinin bulunmasında en küçük kareler eşitliklerinden yararlanılır. En küçük kareler denklemleri aşağıdaki gibi yazılır;

i=1,2, ........,t; j=1,2,..........,b (3)

yazılarak bulunur. Sonraki işlemlerde Y_i. Eşitliğinde Y_.j eşitliği kullanılarak bölük etkileri yok edildikten sonra, işleyim etkilerinin kestiricisi olan ;

(i=1,2,.........,t) (4)

olarak elde edilir. işleyim etkisinin bölükler-içi kestiricisi olarak isimlendirilir.

İşleyim etkilerinin sınanması amacıyla bölükler-içi ve bölükler-arası analizler yapılabilir. Bazen sadece bölükler-içi analize ihtiyaç duyulurken bazı durumlarda ise bölükler-arası analize de ihtiyaç duyulur. Bu belirlemenin yapılabilmesi için bölükler-içi varyans ile bölükler-arası varyansın hesaplanması gerekir. Bölükler-arası analizin gerekli olup olmadığı, bölükler-arası varyansın bölükler-içi varyansa oranlanmasıyla belirlenir. Söz konusu değer 1 değerinden oldukça büyük ise bölükler-arası analizin yapılmasına karar verilir. Eğer söz konusu değer 1’e yakın değer alırsa bölükler-içi analizle yetinilir. Bu durumda uygun işleyim etki kestiricisi, bölükler-içi kestiricidir.

Eğer bölükler-arası analiz gerekli görülürse işleyim etkileri bölükler-arası analiz ile sınanır. Bunun için kullanılacak formüller varyans analizi tablosunda verilmiştir.

Tablo2. Bölükler-arası analiz tekniği ile işleyim etkilerinin sınanmasında kullanılan varyans analizi tablosu

Değişim kaynağı	Kareler Toplamı	Serbestlik Derecesi	Kareler Ortalaması	F0
İşleyimler Bölükler Hata Toplam	T= B= H=G-T-B G=	t-1 b-1 N-t-b+1 N-1	İKO= BKO= HKO=	F0=

Bundan sonra bölükler-arası en küçük kareler kestiricisinin bulunmasına geçilir.Bölükler-arası kestirici en küçük kareler fonksiyonu minimize edilerek bulunur. En küçük kareler normal denklemleri;

(i=1,2,...........t) (5)

Burada ve bölükler-arası kestiricileri göstermektedir. ilk denklemde yerine yazıldığında = bulunur. İkinci eşitlikte = ve eşitlikleri yerlerine yazılırsa;

(6)

bölükler-arası işleyim etkileri kestiricisi bulunmuş olur.

Böylece işleyim etkisi kestiricilerine ilişkin iki küme belirlenmiş oldu: bölükler-içi kestiriciler kümesi olan ’lerin kümesi ve bölükler-arası kestiricilerin kümesi olan ’lerin kümesi. Herhangi bir i ve j değeri için Cov()=0 olmasından dolayı kestiricilere ilişkin söz konusu iki küme birbirinden bağımsızdır.

Simetrik dengeli eksik bölük tasarımlarında işleyimlerin bölükler-içi ve bölükler-arası kestiricileri yardımıyla bileşik kestiricileri belirlenir. Bu iki kestirici kümesinin birleştirilmesi ile tek bir kestirici kümesine ulaşılır. Aynı zamanda işleyimlere ilişkin yansız, tutarlı ve minimum varyanslı kestiricinin elde edilmesi amaçlandığı için, kestiricilerin birleştirilmesi ile bu özelliklere sahip bileşik kestirici elde edilmektedir. Simetrik dengeli eksik bölük tasarımlarında uygun işleyim etkisi kestiricisi sözü edilen özelliklerinden dolayı bileşik kestiricidir. Ters varyanslar tekniği kullanılarak bileşik kestirici elde edilebilir.

Birleşik kestiriciyi bulmak için iki kestiricinin doğrusal bileşimi olan;

(7)

kullanılır.

Söz konusu bileşik kestiriciyi elde etme tekniğinde yansız, minimum varyanslı bileşik kestirici katsayılarına dayanarak, u₁ ve u₂ ağırlıkları olmak üzere;

(8)

eşitlikleri yazılır.

En uygun ağırlıklar kestirici varyansları ile ters orantılıdır. Bu nedenle minimum varyanslı bileşik kestiriciyi elde etmek için eşitliğinde sırasıyla , daha sonra da değerleri yerine yazılarak bileşik kestirici aşağıdaki gibi bulunur.

i=1,2,..........,t (9)

Bileşik kestirici için verilen eşitlikten anlaşılacağı gibi değerlerinin bulunması gerekir.

= HKO olur.

E(BKO (m ve t için düzeltilmiş))= eşitliğinden (10)

bulunur. Bu da için yansız bir kestiricidir.

3. Uygulama

Teorik çalışmalarımızı desteklemek amacıyla, t=6, b=15, r=10, l=6 ve k=4 olan bir dengeli eksik bölük tasarımından elde edilen aşağıdaki veriler kullanılmıştır.

Bölük			1		2		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13		14		15
	İşleyimler	1		60		62				61		64				69		63				67		63				66		61
		2		78				85		84		80				81				82		80				84		83				85
		3		64		71		65		63				65		65		60						62		67				63		60
		4		70		80						69		67				68		67		69				70				71		72
		5				74		81		85				85				84		83		81		81				82				84
		6						75				77		76		73				77				72		71		70		69

Tasarımın etkinliği eşitlik 2’den yararlanılarak E=0,90 bulunmuştur.

Tablo 3. İşleyim etkilerinin bölükler-içi kestirimleri

-8,36	9,42	-9,06	-2,89	10,11	0,78

Bölükler-arası analizin gerekliliği açısından varyanslaın oranına bakıldığında, oran 1’den küçük ve 1’e yakın bir değerdir. Ancak karşılaştırma yapılabilmesi açısından hesaplandığında bölükler-arası kestirimler aşağıdaki gibidir.

Tablo 4. İşleyim etkilerinin bölükler-arası kestirimleri

-13,05	12,95	-8,8	-4,3	10,7	2,7

Görüldüğü gibi söz konusu dengeli eksik bölük tasarımında uygun işleyim etkisi kestirimleri bölükler-içi kestirimlerdir. Varyansların oranı itibariyle de bölükler-arası kestirimler hesaplanmayabilir.

Simetrik dengeli eksik bölük tasarımı uygulaması için t=6, b=6, r=5, l=4 ve k=5 olan bir tasarımda aşağıdaki veriler kullanılmıştır.

Bölük		1	2	3	4	5	6
İşleyimler	1	43	45	48	40	44
	2	45	49	52	44		60
	3	47	50	55		43	58
	4	42	45		43	46	55
	5	46		47	45	43	50
	6		50	55	46	47	60

Tasarımın etkinliği eşitlik 2’den yararlanılarak E=0,96 bulunmuştur. Bu da yüksek bir orandır.

Tablo 5. İşleyim etkilerinin bölükler-içi kestirimleri

-2,5	1,25	1,67	-1,29	-2,04	2,92

Bölükler-arası varyans, bölükler-içi varyansa oranlandığında 1’den oldukça büyük (2,27) bir değer çıkmaktadır. Bu nedenle bölükler-arası analizin yapılması gerekmektedir. Bölükler-arası kestirim değerleri de aşağıdaki gibidir.

Tablo 6. İşleyim etkilerinin bölükler-arası kestirimleri

-42,5	17,5	22,5	-16,5	1,5	17,5

Uygulama simetrik dengeli eksik bölük tasarımı olduğundan bileşik kestirim değerleri bölükler-içi ve bölükler-arası kestiricilere dayanarak aşağıdaki gibi elde edilir.

Tablo 7. İşleyim etkilerinin bileşik kestirim değerleri

2,22	-1,11	-1,49	1,15	1,87	-2,64

Simetrik dengeli eksik bölük tasarımında uygun işleyim etkisi kestiricisi mutlak kestirim değerlerine bakıldığında bileşik kestiricidir.

4. Sonuç

Dengeli eksik bölük tasarımlarında işleyim etkisi kestirim değerleri bölükler-içi, bölükler-arası ve bileşik kestiricilere dayanarak hesaplanabilir. Ancak bölükler-içi analiz ile yetinildiği durumda uygun işleyim etkisi kestiricisi bölükler-içi kestiricidir. Bölükler-arası varyans bölükler-içi varyansa oranlanarak bölükler-içi analizin yeterli olup olmadığı, başka bir anlatımla bölükler-arası analizin yapılmasının gerekli olup olmadığı belirlenebilmektedir. Simetrik dengeli eksik bölük tasarımlarında uygun kestirici bölükler-içi ve bölükler-arası kestiriciye dayanarak belirlenen bileşik kestiricidir. Bileşik kestirici yansız, tutarlı ve minimum varyanslı bir kestiricidir..

KAYNAKÇA

Box, E.P.G. and Hunter, G.W. and Hunter, J.S., 1978, Statistics for experimentals an introduction to design, data analysis and model building, John Wiley and Sons Inc., New York, 653 p.

Cochran, W.G. and Cox, G.M., 1953, Experimental designs, John Wiley and Sons Inc., New York, 454 p.

Fisher, R.A. and Yates, F., 1957, Statistical tables for biological, agricultural and medical research, Hafner Publishing Company inc., New York, 97 p.

John, W.M.P., 1971, Statistical Design and Analysis of Experiments, The Macmillian Company, New York, 385 p.

John, W.M.P., 1980, Incomplete Block Designs, Marcel Decker Inc., New York, 101 p.

Kempthorne, O., 1952, The Design and Analysis of Experiment, John Wiley and Inc., New York.

Mendenhall, W., 1968, Introduction to Linear Models and The Design and Analysis of Experiments, Wadsworth Publishing Company Inc., California, 462 p.

Montgomary, D.C., 1991, Design and Analysis of Experiments, John Wiley and Sons Inc., New York, 528 p.

Raghavarao, D., 1971, Constructions and Combinatorial Problems Design of Experiments, Punjob Agricultural University Ludhana, Indiana, 127p.

Rao, C.R., 1947, General Methods of Analysis for Incomplete Block Designs, 47, 541-561.

Şen, H., 1997, Simetrik Dengeli Eksik Bölük Tasarımlarında Uygun İşleyim Etkisi Kestiricisinin Belirlenmesi ve Bir Uygulama, Doktora Tezi, 113p.