ÇOKPARAMETRELİ ARDIŞIK MAKİNELERİNDE PSEVDOBOOLE KRİTERİLİ TERMİNAL KONTROLETME PROBLEMİ

 

Yakup H.Hacıyev

ÇOMÜ Bilgisayar Mühendisliği Bölümü, Çanakkale

yhaciyev@comu.edu.tr

 

 

 

Abstract

 

Lineer olmayan çok parametreli sonlu ardışık makineleri denklemler sistemi şeklinde veriliyor. Böyle sistemlerde hal denklemlerinin sayısı bilinmeyenlerin sayısından çok olur. Bu çalışmada önce mümkün idare edici tanımlanır. Daha sonra lineer olmayan çok parametreli sonlu ardışık makineleri için terminal kontrol idare etme problemine bakılır, optimal  kontrol edici anlamı verilir ve adı geçen problem için optimallık prensibi ispat edilir.                                       

 

 

1. LİNEER OLMAYAN ÇOK PARAMETRELİ SONLU ARDIŞIK MAKİNELER İÇİN TERMİNAL KONTROL ETME PROBLEMİ

 

Çağdaş sonlu ardışık makineleri teorisinin en çok kullanılan alanlarından biri çok parametreli sonlu ardışık makineleri teorisidir. Böyle sistemler aşağıdaki denklemler ile verilir.

 

              v= 1,. . . , k ,                                (1.1)

 

                                                                                                        (1.2)

 

Burada

*dan alınan noktalardır. , i=1,…,k tamsayılardır.    ,  sırasıyla durum ve giriş alfabeleridir. S( c ) ve X( c ) ısa  kümesinde tanımlanan m ve r boyutlu durum ve giriş vektörleridir.  aşağıdaki gibi tanımlanan hareket operatörüdür.

 

       ,  v=1,…,k

 

            Karakteristik geçit bul vektör fonksiyonları olan  'ler  kümesinde tanımlıdırlar.  başlangıç durum vektörüdür.

 

(1.1)     denklemleriyle verilmiş optimal diskret süreçler;

 

                                                         (1.3)

 

şekilli psevdoboole fonksiyonla karakterize oluyor. Burada  prosesin devam etme süresidir. kümesinde tanımlanan ve değerler kümesi  olan her bir r-boyutlu  yönetici vektör fonksiyonlar kümesini ile gösterelim. Yani . Görüldüğü gibi her bir  için (1.1) sisteminde denklemlerin sayısı bilinmeyenlerin sayısından fazladır. Bu bakımdan aşağıdaki gibi mümkün optimal kontrol edici anlayışı dahil etmek amaca uygundur.

 

            Tanım: Eğer  kümesinden alınmış  için (1.1) sisteminin tek çözümü varsa o zaman ’ye mümkün kontrol edici denir.

 

Şimdi lineer olmayan ikili çok parametreli sonlu ardışık makineleri için aşağıdaki gibi terminal kontrol etme meselesine baka biliriz.

Verilmiş lineer olmayan ikili çok parametreli sonlu ardışık makinesini L adımda  başlangıç durumundan  son duruma getiren öyle  kontrol edicisinin bulunması gerekiyor ki (1.3) fonksiyoneli minimal değer alsın.

 

2. TERMİNAL KONTROL ETME PROBLEMİ İÇİN DİNAMİK PROGRAMLAMA YÖNTEMİ

 

            Bildiğimiz gibi çok adımlı diskret süreçler için optimal problemlerin çözümünde dinamik programlaşdırma iyi yöntemlerden biridir. Bakılan meseleleri çözmek için bu yöntemden yararlanırız. Bu nedenle önce aşağıdaki meseleye bakalım:

 

                 ,           v=1,…,k                                  (2.1)

 

           

 

                                                                                                         (2.2)

 

                                                                                             (2.3)

 

            Burada  (v=1,…,k) ,  (v=1,…,k) bul vektör fonksiyonlarının psevdoboole (veya aritmetik) yazılışlarıdır..

            Şimdi (2.1)-(2.3) problemini aşağıdaki gibi bir optimal problem şeklinde yazalım.

 

                       ,           v=1,…,k                      (2.4)

 

           

 

                                                                                                   (2.5)

 

                                                                                             (2.6)

 

            Burada den alınmış herhangi elemandır. Görüldüğü gibi (2.4)-(2.6) probleminde  ve ya  alındığında ilk probleme dönmüş oluruz. Eğer tek çözüm şartları sağlanıyorsa o zaman istenilen  başlangıç şartı ve istenilen idare edicisi için yegane şekilde S(c) bulunur. Yani (2.6) fonksiyoneli  ve  parametrelerinin fonksiyonlarıdır:

 

                                                                                                (2.7)

 

            Burada  ile  noktalarında x(c) kontrol edicisinin değerler kümesi gösterilmiştir;

 

             

(2.1) sisteminin tam çözümleme şartlarından bulunuyor ki (2.1)-(2.3) sistemi ile kontrol edilen süreç  kümesinde ve aynı zamanda;

 

                                                     (2.8)

kümesinde de incelenebilir.

 

            Tanım: Göz önüne alınan (2.4)-(2.6) probleminde (2.6) fonksiyoneline minimal değer veren  kontrol edicisine  bölgesinde başlangıç  çiftine nazaran optimal kontrol edici denir.

 

            Teorem: (Optimallık Prensibi)

 

 

            Farz edelim ki   bölgesinde  başlangıç çiftine nazaran optimal kontrol edicidir.  ısa uygun optimal yörüngedir. O zaman keyfi  için  başlangıç çiftine nazaran  bölgesinde optimaldır.

 

 

            İspat: Aksini farz edelim. O zaman öyle  kontrol edicisi bulunur ki onun için;

 

                                                                              (2.9)

bağıntısı doğrudur.

 

            Şimdi aşağıdaki gibi yeni  kontrol edicisi seçelim:

 

                                                                                          (2.10)

 

            Görüldüğü gibi (2.10) mümkün kontrol edicidir. Böyle ki;

                                                                (2.11)

 

şartına göre . Buradan;

 

(2.12)

 

elde edilir. (2.11) ve (2.12) den ise;

 

                                                                                   (2.13)

bağıntısı yaza biliriz.  idare edicisinin optimal kontrol edicisi olmasıyla çelişir. Böylece teorem ispatlanmış olur.

 

 

KAYNAKLAR

 

1.      Gayşun İ.B., Çok parametreli differensiyel denklemler için tam çözüm koşulları, Minsk, 1985

2.      Boltyanskiy V.G., Diskret sistemlerde optimal kontrol etme.Moskova, İLM.,1990

3.      Hacıyev Y.H., The extence theorem for terminal control problem in processes described by diskrete system of equations-“Second İnternational symposium on Mathematical Computationnal Applications”, Qafgaz University,1999

4.      Mammadov Y.C., Sayısal yöntemler, Bakü, 1986