İMKB ENDEKSİNİN ÜSLÜ OTOREGRESİF KOŞULLU DEĞİŞKEN VARYANS

(PARCH) İLE MODELLENMESİ

Erdinç TELATAR* H. Soner BİNAY**

ÖZET

ARCH sınıfı modellerin bir devamı şeklinde olan PARCH (Power Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) Modelleri, Ding, Granger ve Engle tarafından önerilmiştir. Klasik modellerdeki zaman serisi verilerinin mutlak değeri veya karesini almak yerine, verilerin dönüşümünün verinin kaçıncı kuvveti ile olduğu analiz edilmektedir. Bu çalışmada, PARCH modelinin İMKB endeksine uygulanabilirliği araştırılmakta ve elde edilen neticeler diğer ülkerin hisse senedi piyasalarından elde edilen sonuçlar ile kıyaslanmaktadır. Çalışmada karşılaştırmanın yapılmasını sağlayabilmek için Merkez Bankası efektif döviz kuru üzerinden ABD Dolarına çevrilmiş günlük endeks değerleri kullanılmaktadır.

1. GİRİŞ

Modern ekonomik teoride risk ve belirsizliğin artan önemi, zamanla değişen varyans ve kovaryansın modellenmesine olanak sağlayan ekonometrik zaman serilerinin gelişimini gerekli kılmıştır. Yüksek frekanslı finansal verilerdeki zamana bağlı değişkenliği (volatiliteyi) analiz etmek için koşullu değişkenlik modellerinin kullanımı çok yaygın hale gelmiştir. Engle tarafından ilk ARCH modelinin ortaya konulmasından itibaren çeşitli ARCH sınıfı modeller yazında yerini almıştır.

Ding, Granger ve Engle tarafından önerilen ve ARCH sınıfı modellerin bir devamı şeklinde olan üslü (power) ARCH (PARCH) modeli, klasik modellerdeki zaman serisi verilerinin mutlak değeri veya karesini almak yerine, verilerin dönüşümünün verinin kaçıncı kuvveti ile olduğunu analiz etmektedir. Ding, Granger ve Engle bu modeli ABD hisse senedi getirileri verilerine uygulamışlar ve 1.43’lük bir kuvvet dönüşümünün optimal olduğu sonucuna varmışlardır. Hentschel daha genel bir PARCH modeli önermiş ve o da ABD hisse senedi getirileri verilerine uygulayarak kuvvet terimi için optimal değeri 1.524 olarak belirtmiştir. Ding, Granger ve Engle ile Hentschel, PARCH modellerinin ABD borsası verilerine uygulanabilir olduğunu ispatlamışlardır. Brooks, Faff, McKenzie ve Mitchell, on milli hisse senedi borsa endeksi ile Morgan Stanley Capital International dünya endeksi için bir asimetrik PARCH (A-PARCH) modelinin uygulanabilirliğini analiz etmişlerdir. Bu ülkeler Avusturalya, Kanada, Fransa, Almanya, Hong Kong, Japonya, Yeni Zelanda, Singapur, İngiltere ve Amerika Birleşik Devletleridir. Çalışmada GARCH ve kaldıraç etkileri dikkate alındığında model genel olarak uygulanabilir olarak bulunmuş ve optimal kuvvet dönüşümünün ülkeler arasında dikkate değer derecede benzer olduğunu ortaya konulmuştur.

Bu çalışmada, PARCH modelinin İMKB endeksine uygulanabilirliği araştırılmakta ve elde edilen neticeler diğer ülkerin hisse senedi piyasalarından elde edilen sonuçlar ile karşılaştırılmaktadır.

2. FİNANSTA KULLANILAN ARCH SINIFI MODELLER

Uygulamalı araştırmacılar belirsizliğin zamandaki değişimini ikinci veya daha yüksek dereceden momentler ile modellemeye başlamışlardır. Değişken varyansları karekterize etmek için ortaya konulan en önemli araçlardan birisi kısaca ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) olarak ifade edilen Otoregresif Koşullu Değişken Varyans modelidir ve ortaya çıkışından itibaren bu modelleme stratejisini finansal zaman serilerine uygulayan çok sayıda makale yayınlanmıştır. Çok çeşitli olmalarına karşılık, hepsinin amacı koşullu varyansın tarihi değerlere göre modellenmesidir. ARCH sınıfı modellerin özelliklerini ve görgül (ampirik) uygulamaları üzerine yapılan yazın taramaları bu model ailesinin Engle’ın ilk ARCH modeli ile Bollerslev’in GARCH modelinin basit özelliğinin ötesinde geliştirildiğini göstermektedirler. Bu yenilikler verinin dönüştürüldüğü kuvvet terimi ile alakalıdır. Konvensiyonel ARCH modelleri verilerdeki mutlak veya karesi alınmış özellikler üzerine odaklanır. Diğer bir deyişle, koşullu varyans gecikmeli mutlak veya hata terimleri kareleri ve gecikmeli koşullu standart sapmalar veya varyanslar ile ilişkilidir. Bütün kesikli zamanlı stokastik süreçler {e_t}ile gösterilirse:

(1)

Burada Z_t beyaz gürültü, E(Z_t)=0 ve Var(Z_t)=1’dir. s_t, bir ARCH modeli olarak t-1 zaman bilgi kümesinin zamanla değişen, pozitif ve ölçülebilen bir fonksiyonudur. {e_t} tek değişkenli dizisinin elemanları arasında korelasyon yoktur ve ortalamaları sıfırdır. e_t’nin koşullu varyansı ’dir ve zamanla değişebilir. Doğrusal ARCH modeli ’yi sürecin geçmiş değerlerinin karelerinin bir doğrusal fonksiyonu olarak önermiştir:

(2)

Burada ve (i=1,2,...q) olup, L gecikme işlecini göstermektedir. ARCH (q) modellerinin görgül uygulamalarda gecikmelerinin çok uzun olması ve parametre sayısının fazlalığı nedeniyle, Bollerslev tarafından GARCH (p,q) modeli önerilmiştir.

(3)

Görüldüğü gibi ARCH ve GARCH parametrik modellerdir. GARCH modelinde varyans sadece e_t’nin büyüklüğüne bağlıdır, işaretine bağlı değildir.

Nelson tarafından ortaya konulan üstel (exponential) GARCH (EGARCH)’ta, geçmiş e_t’lerin asimetrik bir fonksiyonudur:

(4)

, gecikmeli hata terimlerinin hem büyüklüğüne hem de işaretine bağlıdır. Doğrusal GARCH modelinin aksine, koşullu varyansların negatif olmasını sağlamak için a_i ve b_i parametrelerinde sınırlamalar yoktur. Böylece (4)’teki ifade, için kısıtsız bir ARMA(p,q) modeline benzer.

Higgens ve Bera genel bir doğrusal olmayan (nonlinear) ARCH (NARCH) modeli önermişlerdir:

(5)

Burada koşulsuz varyans olup,, , ve ’dir.

Bu koşullu varyans fonksiyonunun p+3 parametresi olmakla birlikte, f_i’lerinin toplamının bir olması sınırlaması parametre uzayının boyutunu bir azaltır. Görüldüğü gibi; d=1, ve (i=1,2,...,p) alınırsa doğrusal koşullu varyans fonksiyonu (1)’e denk hale gelir. kısıtı koşullu varyansın bütün e_t’ler için tanımlı olmasını sağlar.

Engle tarafından önerilen asimetrik ARCH (AARCH) modeli kareli (kuadratik) biçimde olup, birinci dereceden olması durumunda aşağıdaki gibi yazılabilir:

(6)

Burada d’nın bir negatif değeri, pozitif getirilerin değişkenliği (volatiliteyi) negatif getirilerden daha az artırdığı anlamına gelir. Asimetrik etkileri dikkate alan bir başka formülasyon şöyle ifade edilebilir:

(7)

Burada I(.) gösterge (indicator) fonksiyonu ifade etmektedir. Örnek olarak Zakoian’ın eşikli (threshold) ARCH (TARCH) modeli g=1 olan (7) denklemine karşılık gelmektedir. Glosten, Jaganathan ve Runkle (7) denkleminin g=2 olan bir biçimini tahmin etmektedirler. (GJR) modeli denilen bu model iyi veya kötü haberlere göre farklı katsayılarla haberlere değişkenliğin kareli (kuadratik) tepkisine izin verir. Glosten, Jaganathan ve Runkle, bir GARCH türü koşullu varyans şartından yararlanan bir model kullanarak kaldıraç etkilerini modellemek için ilk yaklaşımlardan birisini sağlamıştır.

3. ÜSLÜ (POWER) ARCH (PARCH) MODELLERİ

Ding, Granger ve Engle tarafından önerilen ve ARCH sınıfı modellerin bir devamı şeklinde olan genel asimetrik üslü (power) ARCH (PARCH) modeli, klasik modellerdeki zaman serisi verilerinin mutlak değeri veya karesini almak yerine, verilerin dönüşümünün verinin kaçıncı kuvveti ile olduğunu analiz etmektedir:

(8)

Burada, a_i ve b_i standart GARCH parametreleri, g_i kaldıraç parametresi ve d kuvvet parametresidir.

Ding, Granger ve Engle ile Hentschel’in yaklaşımını izleyerek, (8) denkleminde a,b,g ve d için izin verilebilen değerler belirlemek suretiyle asimetrik PARCH modelinin içine daha standart ARCH ve GARCH formülasyonları yerleştirilebilir. Tablo 1, bu A-PARCH modelinin içine yerleştirilecek modellerin her birini oluşturmak için gerekli sınırlamaları özetlemektedir. Bu tablo görüldüğü gibi, a_i serbest, d=2, b=g=0 olarak alınırsa bu model Engle’ın ARCH modeline indirgenir. a_i ve b_i ‘nin herhangi bir değer almasına izin verilirse Bollerslev’in GARCH modeli elde edilir. a_i ve d’nin herhangi bir değer alabilmesi (b=g=0) durumunda ise Higgens ve Bera’nın doğrusal olmayan ARCH veya NARCH modeli bulunur. GJR-GARCH modelinde kuvvet terimi ve beta konvensiyonel GARCH sınırlamalarına (d=2, b serbest) uymakla birlikte a_i, a_i(1+g_i) olarak belirtilmekte ve kaldıraç terimi - 4a_ig_i ile kısıtlanmaktadır.

4. GÖRGÜL (AMPİRİK) ÇALIŞMANIN SONUÇLARI VE DEĞERLENDİRME

Çalışmada İMKB Ulusal-100 endeksinin 3 Temmuz 1987-23 Şubat 2001 tarihleri arasındaki 3392 adet günlük değerinden oluşan zaman serisi alınmış ve diğer 10 ülke ile dünya endeksine ait zaman serileri ile karşılaştırmanın yapılmasını sağlayabilmek için Merkez Bankası efektif kuru üzerinden ABD Dolarına çevrilmiş günlük endeks değerleri kullanılmıştır.

Tablo 1: Diğer ARCH ve GARCH modellerini Ding, Granger ve Engle’ın asimetrik PARCH modelinin özel durumları biçiminde ifade etmek için gerekli sınırlamalar[*]
MODEL	d	ai	bi	gi
ARCH	2	Serbest	0	0
GARCH	2	Serbest	Serbest	0
Kaldıraçlı ARCH	2	Serbest	0	|gi| £ 1
Kaldıraçlı GARCH	2	Serbest	Serbest	|gi| £ 1
GJR-ARCH	2	ai(1+gi)	0	- 4 aigi
GJR-GARCH	2	ai(1+gi)	Serbest	- 4 aigi
TARCH	1	Serbest	0	|gi| £ 1
Genelleştirilmiş TARCH	1	Serbest	Serbest	|gi| £ 1
NARCH	Serbest	Serbest	0	0
Üslü (power) GARCH	Serbest	Serbest	Serbest	0
Asimetrik PARCH	Serbest	Serbest	0	|gi| £ 1
Asimetrik PGARCH	Serbest	Serbest	Serbest	|gi| £ 1

Durağan olmadığı açıkça görülen bu seriyi durağan hale getirmek için günlük endeks değerlerinin logaritmalarının birinci dereceden farkı alınarak oluşturulan zaman serisi kullanılmıştır:

Burada r_t günlük getiriyi, p_t günlük endeksi ifade etmektedir ve seride birinci dereceden otokorelasyon AR(1) olduğu belirlenmiştir:

Seri bir asimetrik üslü ARCH (PARCH) denklemine uydurulmuş ve Tablo 1’de özetlendiği biçimde parametreler değiştirilerek elde edilen çeşitli ARCH sınıfı modeller Tablo 2’de özetlenmiştir. Parantez içindeki sayılar t-istatistiklerini göstermektedir.

Tablo 2: Diğer ARCH ve GARCH modellerinin Ding, Granger ve Engle’ın asimetrik PARCH modelinin özel durumları biçiminde ifade edilmesiyle elde edilen parametre değerleri
MODEL	d	a0	a1	b1	g1
ARCH	2	0.00065 (31.66)	0.35337 (11.07)	0	0
GARCH	2	0.00005 (5.27)	0.20574 (9.61)	0.75173 (31.18)	0
Kaldıraçlı ARCH	2	0.00062 (16.77)	0.00322 (0.86)	0	0.29876 (4.23)
Kaldıraçlı GARCH	2	0.00006 (5.33)	0.20796 (9.71)	0.74732 (29.34)	-0.03829 (1.25)
TARCH	1	0.00051 (19.38)	0.01985 (14.22)	0	-0.0086 (0.85)
Genelleştirilmiş TARCH	1	0.00026 (0.80)	0.35989 (4.01)	-0.01104 (1.73)	0.04401 (0.97)
NARCH	1.695 (14.25)	0.00062 <