SEÇİLMİŞ HİSSE SENETLERİNDEN MİNİMUM RİSK

DÜZEYİNDE MAKSİMUM GETİRİLİ PORTFÖYÜN

OYUN KURAMIYLA OLUŞTURULMASI

Yrd. Doç. Dr. Tuncer ÖZDİL

Prof. Dr. Cengiz YILMAZ

Celal Bayar Üniversitesi

İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İşletme Bölümü

45030 / MANİSA

e-mail: tozdil12@hotmail.com

ÖZET

Bireysel tasarrufların yatırımlara kanalize edilmesi finansal piyasalar aracılığıyla gerçekleşmektedir. Bilindiği gibi piyasalar bir çok sosyo-ekonomik değişkenin etkisi altında kaldığı için belirsizlik ve riski de beraberinde getirmektedirler. Ayrıca bu piyasalarda karar verici konumdaki firma ya da bireylerin aldıkları ekonomik kararlar, birbirinin sonucunu etkileyen etkileşimli kararlar olmaktadır. Etkileşimli karar almaya yönelik, riski minimize eden temel matematiksel yaklaşımlardan birisi oyun kuramıdır.

Oyun kuramının başarısı gerekli veriler sağlanarak oluşturulan ödemeler matrisinin problemin gerçek doğasını temsil yeteneğine bağlıdır. İstanbul Menkul Kıymetler Borsasında ( İMKB ) seçilmiş hisse senetlerinden minimum risk düzeyinde maksimum getirili portföy oluşturma problemi doğaya karşı oynanan iki kişilik sıfır toplamlı bir oyun olarak düşünülebilir. Oyunda taraflardan biri gelirini maksimize etmek isteyen yatırımcı, diğeri ise İMKB yani doğadır. Modelde yatırım dönemi bir ay olarak düşünülmüştür. Piyasa bu dönemde elinde sonsuz sayıdaki stratejiden herhangi birini oynayarak hisse senetlerinin o anki piyasa değerini belirlemektedir. Bu durumda yatırımcının stratejileri elindeki fonun ne kadarını hangi hisse senedine yatırmak olarak sınırlandırılabilir. Ödemeler matrisi 1993 – 2000 dönemindeki sekiz yılın her ayı için seçilmiş hisse senetlerinin net getirileriyle oluşturulmuştur. Oniki ayrı ödemeler matrisi doğrusal programlama modeline dönüştürülerek, sekiz yıllık verilerden hareketle her ay için yatırımcının minimum risk düzeyinde elde edebileceği maksimum geliri veren portföyü elde edilmektedir.

Bunun yanısıra yatırımcı hedeflediği getiri düzeyindeki katlanacağı riski de bilmek ister. Risk ile getiri arasında ödünlemede bulunur. Bu yaklaşım genişletilerek belli getirilerde gerçekleşecek risk düzeylerinin hesaplanmasında da kullanılabilir .

n Bildirinin ilgili olabileceği en uygun konu başlıkları

1-) Yöneylem araştırması uygulamaları

2-) Matematiksel Programlama (Oyun kuramı)

3-) Yatırım ve Finansal Planlama

1-) Giriş

Finansal piyasalar aracılığıyla tasarruflar gelir getiren yatırımlara dönüştürülmekte böylece ekonomide tasarruf eğilimi artmaktadır. Tasarrufların verimli yatırımlara kanalize olması ise hızlı ve sağlıklı ekonomik büyümenin temel kaynağını oluşturmaktadır. Tasarruf sahipleri tasarruflarını yönlendirdikleri piyasa türüne göre farklı finansal varlık geliri elde ederler. Örneğin tasarruflarını sermaye piyasasına yönlendirerek hisse senedi satın aldıklarında temettü geliri elde ederler. Eğer tahvil satın almışlarsa tahvilin sabit faiz oranı üzerinden tahvil getirisi elde ederler. Hangisi olursa olsun, bu gelirlerin yanı sıra yatırımcılar bu finansal varlıkların ikincil piyasada; piyasa koşullarına göre değişen fiyat hareketlerinden de yararlanarak kazanç elde etmeye çalışırlar.

Finansal piyasaların temel özelliği belirsizlik ve riskin varlığıdır. Yatırımcılar gelir elde etme amacıyla özellikle hisse senedine yatırım yaptıklarında ciddi bir riske katlanmaktadırlar. Bütün finansal varlıklarda olduğu gibi hisse senedi fiyatlarını da önceden tahmin etmek oldukça güç hatta olanaksızdır. Bu fiyatlar çok sayıda ölçülebilen ve ölçülemeyen sosyo-ekonomik değişkenin etkisi altında kalmaktadır. Tahminlemeye yönelik olarak geliştirilmiş hareketli ortalamalar, regresyon, zaman serisi analizleri gibi istatistiksel yöntemler bulunmakla birlikte söz konusu değişkenlerin sayıca fazlalığı, kendi aralarındaki etkileşimler ve bunların modellere yansıtılmalarındaki güçlükler gibi nedenlerle çoğu kez bu yöntemlerden sağlıklı sonuçlar alınamamaktadır. Sonuçta bu piyasalarda belirsizliğin beraberinde getirdiği risk unsuru ön plana çıkmaktadır.

2-) Finansal Piyasaların Genel Bir Değerlendirmesi

Finansal piyasalar, ekonomik büyüme hedefini gerçekleştirme amacına yönelik olarak kapasite arttırıcı yatırımlara kaynaklık ederken, diğer yandan sermayenin tabana yayılması yoluyla gelir dağılımı dengesizliklerini giderme amacına da hizmet etmektedirler. Ayrıca yatırımcısına piyasa koşullarına göre oldukça iyimser kazançlar sağlaması yönüyle tasarrufları özendirici bir unsur olurken sermaye birikimine de katkıda bulunmaktadırlar. Ekonomik büyümenin sürdürülebilmesi için gerekli olan üretim artışı ancak yatırım artışları suretiyle üretim kapasitesinin genişletilmesiyle olanaklıdır. Ekonomik anlamda yatırımların kaynağı ise bireysel tasarruflardır. Bireysel tasarruflar ekonomik birimlerin (hane halkları) elde ettikleri gelirlerden daha az harcama yapmalarıyla oluşurlar. Tasarruf sahipleri tasarruflarının atıl kalmasını önlemek ve ek bir gelir elde edebilmek için tasarruflarını harcama açığı bulunan birimlere aktarmak isterler. Fon arz ve talep edenlerin her zaman ekonomik birimler olarak bir araya gelmelerinin zorluğu karşısında tasarruf fazlası olanlarla fon açığı bulunanların karşılaşmalarını sağlamak ve bunlar arasında fon akışını gerçekleştirmek amacıyla bir piyasa mekanizmasının oluşması gerekmektedir. Fon arz ve talep eden ekonomik birimlerin karşılaşmalarını ve arada fon akışını sağlayan mekanizmaya finansal piyasalar denmektedir (Bolak, 1194, s.25).

İster gelişmiş ister gelişmekte olan ülke ekonomilerinde, finansal piyasaların bu temel işlevlerini yerine getirmeleri ancak etkin bir piyasa olmalarıyla olanaklıdır. Kısaca, etkin piyasa, fiyatların tamamen piyasa koşullarınca belirlenen arz - talep dengesiyle oluştuğu, en küçük bir bilgi ya da farklılaşmaya makul, mantıklı sınırlarda duyarlı olduğu, her türlü bilgi akışının sağlandığı şeffaf bir ortamı tanımlamaktadır. Aslında etkin piyasa varsayımı gelişmiş ülke ekonomileri için bile oldukça iddialı bir varsayımdır. Gelişmiş ülke ekonomilerindeki finansal piyasalarda da zaman zaman kendi içsel ya da dışsal koşullarından kaynaklanan istikrarsızlıklar ani iniş ve çıkışlar olabilmektedir. Özellikle gelişmekte olan ülke ekonomileri finansal piyasalarında bu tür istikrarsızlık ve spekülatif faaliyetler daha sık olmaktadır. Bu da beraberinde belirsizlik ve riski getirmektedir. Belirsizlik ve risk; finansal piyasalarda yatırımcıların aldıkları finansal kararların başarısını doğrudan etkilemektedirler. Genel bir kanı olarak, düşük gelirin düşük riski, yüksek gelirin yüksek riski beraberinde getirdiği kabul edilmektedir.

Belirsizlik ve risk küçük yatırımcının piyasalardan uzaklaşmasına neden olurken sermaye birikimini azaltmakta dengeli gelir dağılımı hedefini de zorlaştırmaktadır.

Ancak finansal piyasalar ekonominin vazgeçilmez unsurudur. Belirsizlik ve risk altında finansal kararlar alınmaktadır. Bilinen finansal karar verme teknikleri geçmiş dönem verilerinden hareketle geleceği tahmin ilkesine dayanmaktadır. Geçmiş dönem verileri hareketli ortalamalar, üssel düzeltim vb. istatistik tekniklerle yumuşatılarak istatistiksel ve ekonometrik modeller oluşturulmaktadır. Fakat finansal varlıkların geçmiş dönem verilerinin istikrarsız olmalarının yanısıra bunların çok sayıda sosyo-ekonomik değişkenin etkisi altında olmaları ve bunların modellere yansıtılamayışları ciddi bir problem olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu nedenle, zaman serileri, trend analizi, regresyon analizi gibi kantitatif tekniklerin finansal varlıkların fiyat tahminlemelerinde kullanılamayacağı veya elde edilecek sonuçların güvenilirliğinin az olacağı belirtilmektedir.

Finansal karar vermede temel yaklaşım portföy oluşturmaktır. Yatırımcı risk - getiri ekseni üzerinde katlanabileceği risk düzeyinin belirlediği kendi bireysel kayıtsızlık eğrisinin eksene teğet olduğu noktada dengeye ulaşmakta, burada oluşan portföy yatırımcı için optimal portföy olmaktadır. Bu nedenle olası portföylerin risk ve getirilerinin yatırımcı tarafından biliniyor olması oldukça önemlidir. Bu yaklaşım portföy analizini gerektirmektedir. Portföy analizinde geleneksel yaklaşım ve modern yaklaşım olarak iki farklı değerlendirme söz konusudur. Geleneksel yaklaşım riski dağıtma ilkesine bağlı olarak çok sayıda finansal varlığın oluşturduğu çeşitlendirmeyi önerirken, modern yaklaşım az sayıda finansal varlıkla riski minimize etmeyi önermektedir(Sarıkamış, 1995, s.15). Ancak portföy analizi tek dönemlik analiz olup geleceği tahminlemeye dayanmaktadır ve hangi portföyün ne kadar süreyle oluşturulması gerektiğini belirlememektedir. Gerçi portföy yönetimiyle ilgili, maliyeti ortalama stratejisi, sabit değer planı, sabit oran planı gibi yöntemler geliştirilmiştir. Ancak bunlar deneyimlerden yola çıkılarak oluşturulan varsayımlara dayanmaktadır.

Türkiye’de, Sharpe tarafından geliştirilen finansal varlıkları fiyatlama modeli 1989 yılında ülkemiz sermaye piyasasına uyarlanmış, sözkonusu çalışmada etkin piyasa özelliklerinin oluşmadığı sonucuna ulaşılmıştır (Ünvan, 1989, s.28). Geçen süreç içerisinde etkin piyasa olma yolunda ciddi gelişmeler olmakla birlikte, bu konuda henüz daha istenen düzeye ulaşılamadığı görülmektedir (Özçam, 1997, s.147).

Aslında gelişmiş ülke ekonomilerindeki finansal piyasalar için de benzer olumsuzluklar geçerlidir. ABD’de New-York borsasında yapılan bir araştırma, riskin ölçülmesinde yatırımcıların spesifik pay senedi yaklaşımını benimsediğini ortaya koymuştur. Tipik bir yatırımcının portföyünün ortalama finansal varlık sayısı 4’ten az çıkmıştır (Akgüç, 1989, s.688). Ancak kurumların portföy yaklaşımını seçtikleri düşünülebilir. Fakat, burada da başarısızlık durumunda portföy yöneticilerinin kendilerini aklama çabaları, daha doğrusu sorumluluktan kaçmaları vb. bir dizi sosyo-ekonomik faktörler portföy yaklaşımının teoride belirtildiği şekilde uygulanmasını zorlaştırmaktadır.

3-) Finansal Piyasalar ve Oyun Kuramı

Belirsizlik ve riskin bulunduğu finansal piyasalarda finansal karar vermenin oyun kuramı mantığıyla incelenmesi ilginç bir yaklaşım olabilir. Oyun, belirsizlik ve risk altında oynanır. Çatışmanın yer aldığı kararlarda oyun kuramı sağlıklı sonuçlar verebilmektedir. Rakibin de davranış kalıplarını dikkate alarak, etkileşimli karar olanağı sağlayan oyun kuramı her şeyden önce bir düşünce şekli olarak karar vericiye ilginç ipuçları ve yaklaşımlar kazandırabilmektedir. Finansal karar vermenin oyun kuramı mantığı ile incelenmesi çalışmamızın temel konusunu oluşturmaktadır. Çok sayıda ölçülebilen ve ölçülemeyen sosyoekonomik değişkenin etkisinde kalan finansal kararlarda, bunların etkilerinin karar modellerine yansıtılma zorlukları en azından farklı bir yaklaşım olarak oyun kuramını daha da ilginç hale getirmektedir.

Rakibin hangi stratejiyi ne kadar sıklıkla oynayacağı önceden bilinmediği, bu anlamda tam bir belirsizliğin bulunduğu ortamlarda riski minimize edecek şekilde elde edilebilecek en iyi geliri veren oyun kuramı; belirsizlik ve riskin bulunduğu finansal piyasalar için de ilginç ipuçları ve sonuçlar sağlayabilir.

Burada oyun yatırımcının piyasaya karşı oynadığı oyun olarak düşünülebilir. Yani, piyasa sahip olduğu bütün özellikleriyle doğayı temsil etmektedir(Friedmann, 1997,s.6). Oyun doğaya (ya da piyasaya) karşı oynanan tek kişilik sıfır toplamlı oyundur(Shubik,1989,s.433). Piyasa herhangi bir dönemde sahip olduğu sonsuz sayıdaki stratejiden herhangi bir j ‘inci stratejisini oynayarak finansal varlıklara belli getiriler sağlamaktadır. Bu getirilerin pozitif olması, elinde finansal varlık bulunduran yatırımcı için kazancı, negatif olması zararı, sıfır olması ilgili dönemde finansal varlığın kazanç ya da kayıp sağlamadığını ifade etmektedir. Doğaya karşı oynanan oyunlarda olduğu gibi satırlarda yatırımcının alternatif stratejileri, kolonlarda yıllar (doğanın stratejileri) olacak şekilde ödemeler matrisi oluşturulabilir. Oyun matrisi çözüme alındığında; “doğa hangi stratejiyi oynarsa oynasın yatırımcı minimum riskle elde edebileceği en kötü gelirler arasından, en iyisini kazanabilmek için hangi finansal varlığı satın almalıdır?” sorusunun yanıtı elde edilecektir. Kuşkusuz, piyasa, yatırımcısına karşı bir oyuncu mantığıyla davranmamaktadır. Ancak, burada piyasanın sanki kendi kasasından çıkacakmış gibi düşünerek yatırımcısını yıkmak, yok etmek istercesine davrandığı düşünülecektir. Bu yaklaşımla maksimin stratejilere göre çözüm yapılacaktır(İntrilogator, 1971, s.133). Böylelikle piyasanın kendince rasyonel davranmayıp yatırımcı için en kötü stratejileri oynamaması halinde yatırımcının elde edeceği gelir oyun değerinden az değil fazla olacaktır. Bir başka deyişle oyunun değeri yatırımcının sağlayacağı en düşük getiriyi belirlemekte, sonuç olarak yatırımcı oyunun değerinden daha büyük bir getiri sağlama olanağına sahip bulunmaktadır (Özdil, 1998, s.90).

3.1-) Oyunun Varsayımları

Ödemeler matrisi oluşturularak oyunun çözümünde gerek hesaplama yetersizlikleri, gerekse sağlıklı veri elde etmedeki zorluklar nedeniyle bazı basitleştirici varsayımlara gerek duyulmuştur. Bu varsayımlar aşağıdaki gibi özetlenebilir(Özdil, 1998, s.91).

a) Yatırımcının en kısa yatırım döneminin 1 ay olduğu varsayılmaktadır. Yani yatırımcı satın aldığı herhangi bir finansal varlığı en az 1 ay elinde tutacaktır. Bu süre içerisinde elinde tuttuğu finansal varlığın getiri değişimlerinden yararlanma olanağı bulunmamaktadır. İlgili finansal varlığın en kısa süre 1 aydan daha fazla elde tutulup tutulmayacağı sorusunun yanıtı modelin çözümüyle elde edilecektir. Burada en az elde tutma süresinin 1 ay olması optimallikten uzak uzun bir süre gibi düşünülebilir, ya da bu sürenin neden 2 ay, 3 ay veya 1 hafta, 2 hafta olmadığı sorusu gündeme gelebilir. Bu sorunun yanıtı modelin işleyiş mantığında yatmaktadır. Model, uygun veriler elde edilebiliyorsa sürenin olabildiğince kısa tutulması ilkesine dayanmaktadır. Örneğin 1 günlük verilerle çözüm yapıldığında finansal varlığın en az elde tutulma süresi 1 gün olacaktır. Modelin çözülmesiyle 1 günden daha uzun sürelerle elde tutulup tutulmayacağına karar verilmiş olacaktır. 1 aylık sürelerle dahi, finansal varlığın değiştirilmeyip, 2 ya da 3 ay üst üste korunması gerektiği sonucu elde edilebilir.

b) Oyunda gelir elde etmek isteyen yatırımcının elindeki fonları İstanbul Menkul Kıymetler Borsası’nda (İMKB) seçilmiş Arçelik, Migros, Bağfaş, İş-C ve Çimentaş hisse senetlerine yatırarak değerlendireceği düşünülmüştür. Elbette bu beş hisse senedi yerine daha çok sayıda ve farklı hisse senetleri de alınabilirdi. Bu durumda kuşkusuz sadece oyun matrisi büyüyecek ve çözüm süresi daha da uzayacaktır.

c) Piyasanın stratejilerinin tanımlandığı dönem olarak 1993-2000 yılları alınmıştır. Bu yıllara ilişkin her ay için seçilmiş beş hisse senedinin bir önceki aya göre net getirileri hesaplanarak strateji sonuçlarını yansıtan ödeme değerleri hesaplanmıştır. Burada son sekiz yılın güvenilir sonuçlar elde edilebilmesi bakımından yeterli olacağı düşünülmektedir.

d) Oyunda piyasanın (doğanın) stratejilerinin tanımlandığı 1993-2000 dönemindeki yapının gelecek dönemlerde de aynen tekrarlanacağı varsayılmaktadır.

Bu varsayımlar ışığında piyasa ve yatırımcı için olası stratejiler belirlenerek her ay için ödemeler matrisi oluşturulmakta, bunların doğrusal programlama modeline dönüştürülerek çözümüyle her ay için ayrı ayrı 1 TL.nin ne kadarının hangi hisse senedine yatırılması gerektiğine karar verilmektedir.

3.2-) Oyunun Stratejileri

Burada oyun, yatırımcının piyasaya karşı oynadığı bir oyun olarak düşünüldüğünden doğaya karşı iki kişilik sıfır toplamlı oyun olarak formüle edilmektedir. Dolayısıyla, bir yanda yatırımcının olası stratejileri, diğer yanda piyasanın (doğanın) olası stratejileri vardır.

Her türlü etkiyi ve değişkeni içinde barındıran piyasanın sonsuz sayıda stratejisi vardır. Örneğin, döviz kurlarının belli dönemde aşırı yükselmesi, faiz oranlarının düşmesi ya da istikrarsızlığı, borsa endeksindeki ani değişimlerin hepsi birer strateji olarak düşünülebilir. Hatta bunların birbirini etkilemeleri de söz konusu olabilir. Örneğin, döviz kurları ve faizlerdeki azalışlar fonların borsaya yönelmesi nedeniyle endeksin artmasına yol açarak endeks getirisini arttırabilir.

Bu anlamda bir çok değişkenin bileşiminden oluşan ara stratejiler ya da strateji kombinasyonları da tanımlanabilir. Kuşkusuz bunların somut, net olarak ortaya konması ve açıklanması oldukça zor, hatta olanaksızdır. Ancak bütün bu etkileşimin bir sonucu vardır. Bu etkileşim belirli bir dönemde gerçekleşir ve ilgili finansal varlığın değerine yansır. İlgili stratejilerin uygulanmasıyla elde edilen sonuç, ödeme değeri olarak ortaya çıkmaktadır. Böylelikle ilgili yıllarda ve dönemlerde seçilmiş hisse senetlerinin fiyatlarındaki net artış değerleri piyasa stratejilerinin sonuçlarını tanımlayarak, aynı zamanda ödeme değerlerini vermektedir. Örneğin, 1994 yılı Aralık ayı Arçelik hisse senedinin getirisinin -0.07 olması piyasanın o dönemde Arçelik hisse senedine yatırım yapan yatırımcısını zarara uğratma ya da kendisi için kazanç elde etme stratejisini benimsemesi olarak düşünülebilir.

Yapılan varsayımlar doğrultusunda yatırımcının stratejileri aşağıdaki gibi belirtilebilir.

1 no.lu strateji; ARÇELİK; İlgili dönemde , elindeki fonları Arçelik hisse senedine yatırmak.

2 no.lu strateji; MİGROS; İlgili dönemde elindeki fonları Migros hisse senedine yatırmak.

3 no.lu strateji; İŞ-C; İlgili dönemde elindeki fonları İş-C hisse senedine yatırmak.

4 no.lu strateji; BAĞFAŞ; İlgili dönemde elindeki fonları Bağfaş hisse senedine yatırmak.

5 no.lu strateji; ÇİMENTAŞ; İlgili dönemde elindeki fonları Çimentaş hisse senedine yatırmak.

Yatırımcı bu stratejilerle her bir hisse senedinin getirisi oranında gelir elde edecektir. Yatırımcının bunlardan kaynaklanan gelir fonksiyonu aşağıdaki gibi olacaktır.

Y = f (ARÇELİK, MİGROS, İŞ-C, BAĞFAŞ, ÇİMENTAŞ)

Yatırımcı, piyasanın kendisine en acımasız şekilde davranacağını varsayarak, olası en düşük gelirler içerisinden en yükseğini sağlayacak strateji setini belirlemeye çalışmaktadır.

3.3-) Ödemeler Matrislerinin Oluşturulması

Hisse senetlerinin en az elde tutulma süreleri 1 ay olarak kabul edildiğinden, her ay için ayrı bir ödeme matrisi düzenlenmektedir. Piyasa halleri kolon olarak, yatırımcının stratejileri satır olarak matriste yer almaktadır. Böylelikle Ocak, Şubat, Mart, . . . , Aralık ayına kadar her ay için kolonlarda 1993, 1994, 1995, . . . , 2000’e kadar yıllar, satırlarda ise Arçelik, Migros,İş-C, Bağfaş ve Çimentaş olarak yatırımcının stratejileri yer almaktadır.

Matristeki ödeme değerlerinin hesaplanması ise, her bir finansal varlığın bir önceki döneme göre değişim oranları hesaplanarak bu orana anapara anlamında +1 eklenmek suretiyle yapılmıştır. Böylelikle 1’den büyük katsayılarda yatırımcı için kazanç, 1’den küçük katsayılarda ise kayıp vardır.

Örneğin piyasanın 2000 yılı Nisan ayı Bağfaş hisse senediyle ilgili stratejisi sonucunda ortaya çıkan ödeme değeri 1.26 aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

2000 yılı Mart ayı sonunda Bağfaş hisse senedinin kapanış fiyatı 28.003 TL. iken, Nisan ayı sonunda piyasada oluşan kapanış fiyatı 35.372 TL.dir. Bu değerlere göre Bağfaş’ın Nisan ayı getirisi, (35.372 – 28.003) / 28003 = 0,2632 olmaktadır. Bu değere anaparayı ifade etmek üzere 1 eklediğimizde 1 + 0.2632 = 1,2632 olarak ödeme değeri hesaplanmaktadır. Böylelikle doğa yatırımcıya 1,2632 TL. ödemede bulunmakta ve yatırımcının ay başındaki 1 TL.’si 1,2632 TL.’ye ulaşmaktadır. Seçilmiş hisse senetlerinin ödeme değerleri İMKB verilerinden yararlanılarak ay sonu değerleriyle yukarıda açıklandığı gibi hesaplanmıştır. Ay sonu değerlerinin kullanılma nedeni, portföyün ancak ay sonunda boşaltılabiliyor olmasıdır.

Açıklandığı gibi hesaplanan ödeme değerleri ile Ocak ayı için oluşturulmuş ödemeler matrisi aşağıda tablo halinde sunulmaktadır. Bu matrislerin ayrı ayrı çözüme alınmalarıyla her ay için riski minimize eden, olası en kötü gelirlerden en yükseğini belirleyen optimal portföy bileşimi elde edilmiş olacaktır.

Tablo 1: OCAK AYI ÖDEMELER MATRİSİ
YATIRMCI	PİYASA HALLERİ
STRATEJİLERİ		1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
ARÇELİK	Y1	1,02	1,10	0,87	1,30	2,09	0,97	0,73	0,97
MİGROS	Y2	1,25	1,00	0,99	1,35	1,15	1,05	1,05	1,24
İŞC	Y3	1,07	0,83	0,97	1,13	1,76	0,99	0,96	1,00
BAGFAŞ	Y4	1,13	0,76	0,95	1,20	1,45	1,19	0,88	1,32
ÇİMENTAŞ	Y5	1,35	0,84	0,94	1,06	1,40	1,29	1,02	1,20

3.4-) Oyunun Doğrusal Programlama Modeline Dönüştürülmesi : Simpleks Yöntemle Çözüm

Oluşturulmuş ödeme matrislerinin çözümü doğrusal programlama yöntemiyle yapılabilir. Bunun için oyun matrislerinin doğrusal programlama modeli haline dönüştürülmesi gerekmektedir. Ocak ayı için ödeme matrisi değerlerinden yola çıkılarak model aşağıdaki gibi oluşturulabilir.

Burada doğanın hangi stratejiyi oynayacağını bilmeyen yatırımcı, Y₁ olasılığıyla Arçelik hisse senedine, Y₂ olasılığıyla Migros hisse senedine, Y₃ olasılığıyla İş-C hisse senedine, Y₄ olasılığıyla Bağfaş hisse senedine ve Y₅ olasılığıyla da Çimentaş hisse senedine yatırım yapma stratejilerini oynayacaktır. Piyasanın 1993 yılı stratejisini oynaması halinde yatırımcının beklenen kazancı;

1,02Y₁+1,25Y₂+1,07Y₃+1,13Y₄+1,35Y₅

toplamı kadar olacaktır. Yatırımcı bu beklenen kazancını oyun değeri V’ye eşit ya da ondan büyük yapmaya çalışacaktır. Bu durumda beklenen gelir eşitsizlik olarak,

1,02Y₁+1,25Y₂+1,07Y₃+1,13Y₄+1,35Y₅ ³ V

şeklinde olacaktır. Diğer yıllar için de beklenen kazançlar eşitsizlik olarak yazılabilir;

1994 yılı için 1,10Y₁+1,00Y₂+0,83Y₃+0,76Y₄ +0,84Y₅ ³ V

1995 yılı için 0,87Y₁+0,99Y₂+0,97Y₃+0,95Y₄ +0,94Y₅ ³ V

1996 yılı için 1,30Y₁+1,35Y₂+1,13Y₃+1,20Y₄ +1,06Y₅ ³ V

1997 yılı için 2,09Y₁+1,15Y₂+1,76Y₃+1,45Y₄ +1,40Y₅ ³ V

1998 yılı için 0,97Y₁+1,05Y₂+0,99Y₃+1,19Y₄ +1,29Y₅ ³ V

1999 yılı için 0,73Y₁+1,05Y₂+0,96Y₃+0,88Y₄ +1,02Y₅ ³ V

2000 yılı için 0,97Y₁+1.24Y₂+1.00Y₃+1.32Y₄ +1,20Y₅ ³ V

Ayrıca olasılıklar toplamı

Y₁+Y₂+Y₃+Y₄ +Y₅ =1

olmaktadır. Bütün eşitsizliklerin her iki yanı V’ ye bölünüp, Y_i’ = Y_i / V dönüşümü yapıldığında,

1,02Y’₁+1,25Y’₂+1,07Y’₃+1,13Y’₄+1,35Y’₅ ³1

1,10Y’₁+1,00Y’₂+0,83Y’₃+0,76Y’₄ +0,84Y’₅ ³ 1

0,87Y’₁+0,99Y’₂+0,97Y’₃+0,95Y’₄ +0,94Y’₅ ³ 1

1,30Y’₁+1,35Y’₂+1,13Y’₃+1,20’Y₄ +1,06’Y₅ ³ 1

2,09Y’₁+1,15Y’₂+1,76Y’₃+1,45Y’₄ +1,40Y’₅ ³ 1

0,97Y’₁+1,05Y’₂+0,99Y’₃+1,19Y’₄ +1,29Y’₅ ³ 1

0,73Y’₁+1,05Y’₂+0,96Y’₃+0,88Y’₄ +1,02Y’₅ ³ 1

0,97Y’₁+1.24Y’₂+1.00Y’₃+1.32Y’₄ +1,20Y’₅ ³ 1

ve

Y₁’+Y₂’+Y₃’+Y₄’+Y’₅ =1/V

elde edilecektir. Yatırımcının oyun değerini (V’yi) maksimize etmek istemesi 1/V’yi minimize etmek istemesiyle eş anlamlıdır. Bu durumda, amaç denklemi,

Min Z = (1/V) = Y₁’+Y₂’+Y₃’+Y₄’+Y’₅

olmakta, olasılıklar negatif olamayacağından, pozitiflik koşulu olarak,

Y₁’³0 , Y₂’³0 , Y₃’³0 , Y₄’³0 , Y₅’ ³ 0

yazılmalıdır. Bu şekilde oluşturulan doğrusal programlama modeli simpleks yöntemle çözüme alındığında, optimal çözüm aşağıdaki gibi elde edilmektedir.

HİSSE	Y'i	Yi
SENETLERİ
ARÇELİK	0	0
MİGROS	1,013707	1
İŞC	0	0
BAGFAŞ	0	0
ÇİMENTAŞ	0	0
Z = 1 / V	1,013707
OYUN DEĞERİ (V)	0,986479

1/V = 1,013707 Þ V = 0,986479

Y₁’ = Y₁ / 1,013707 = 0 Þ Y₁ = 0

Y₂’ = Y₂ / 1,013707 = 1 Þ Y₂ = 1

Y₃’ = Y₃ / 1,013707 = 0 Þ Y₃ = 0

Y₄’ = Y₄ / 1,013707 = 0 Þ Y₄ = 0

Y₅’ = Y₅ / 1,013707 = 0 Þ Y₅ = 0

olmaktadır.

Burada elde edilen çözüm vektörü

Y_i = [0 , 1 , 0 , 0] , V = 0,986479

şeklinde elde edilmektedir. Optimal çözüm tam strateji vermiştir.Yani çözümde, yılın Ocak ayında eldeki fonun tamamının migros hisse senedine yatırılması önerilmektedir. Burada çözüm sonuçlarının aslında bir olasılık olduğu unutulmamalıdır. Eğer çözüm karma strateji verseydi o zaman, eldeki fonların olasılık kadarlık kısmının ilgili stratejiye ayrılması şeklinde düşünmek daha uygun olacaktı.Nitekim diğer aylara ilişkin yapılan çözümlerdeki optimal portföylerde karma stratejili sonuçlar da elde edilmiştir. Benzer şekilde Şubat, Mart, Nisan, . . . , Aralık ayları için de ödeme değerlerinden yararlanılarak doğrusal programlama ile çözüm değerleri hesaplanmış, böylelikle her ay için riski minimize eden optimal portföy kompozisyonu elde edilmiştir.

Tablo 2. AYLIK PORTFÖYLER
YATIRIM SEÇENEKLERİ
AYLAR	ARÇELİK	MİGROS	İŞC	BAĞFAŞ	ÇİMENTAŞ
OCAK	0,00	1,00	0,00	0,00	0,00
ŞUBAT	0,78	0,00	0,00	0,00	0,22
MART	0,00	0,00	0,06	0,32	0,62
NİSAN	0,00	0,92	0,08	0,00	0,00
MAYIS	0,00	0,00	0,09	0,00	0,91
HAZİRAN	0,82